Номер 1.66, страница 15 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.66*. Представьте в виде степени с основанием $a$ произведение:

а) $a^n \cdot a^7$;

б) $a \cdot a^n$;

в) $a^{2n} \cdot a^{5n}$;

г) $a^{4n} \cdot a \cdot a^n$.

а) Чтобы представить произведение $a^n \cdot a^7$ в виде степени с основанием $a$, используется правило умножения степеней с одинаковыми основаниями: $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$. Согласно этому правилу, нужно сложить показатели степеней. В данном случае это $n$ и $7$.
$a^n \cdot a^7 = a^{n+7}$.
Ответ: $a^{n+7}$.

б) В выражении $a \cdot a^n$ множитель $a$ можно представить как степень с показателем 1, то есть $a = a^1$. Тогда произведение принимает вид $a^1 \cdot a^n$. Применяя правило умножения степеней с одинаковым основанием, складываем показатели $1$ и $n$.
$a \cdot a^n = a^1 \cdot a^n = a^{1+n}$.
Ответ: $a^{n+1}$.

в) В произведении $a^{2n} \cdot a^{5n}$ основания степеней одинаковы. Чтобы представить его в виде одной степени, нужно сложить показатели $2n$ и $5n$.
$2n + 5n = 7n$.
Следовательно, $a^{2n} \cdot a^{5n} = a^{2n+5n} = a^{7n}$.
Ответ: $a^{7n}$.

г) Произведение $a^{4n} \cdot a \cdot a^n$ состоит из трех множителей с одинаковым основанием $a$. Представим множитель $a$ как $a^1$. Для упрощения выражения необходимо сложить показатели всех степеней: $4n$, $1$ и $n$.
Сумма показателей: $4n + 1 + n = (4n+n) + 1 = 5n + 1$.
Таким образом, $a^{4n} \cdot a \cdot a^n = a^{4n+1+n} = a^{5n+1}$.
Ответ: $a^{5n+1}$.