Номер 1.65, страница 14 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.65*. Представьте в виде степени с основанием $a$ выражение ($n$ — натуральное число):

а) $a^n \cdot a^n$;

б) $a \cdot a^n$;

в) $a^{2n} \cdot a^n \cdot a^2$;

г) $a^{n+5} \cdot a^n \cdot a^{3n}$;

д) $a^n : a^3$;

е) $a^{n+4} : a$;

ж) $a^{2n-5} : a^n$;

з) $\frac{a^{n+7}}{a^n}$.

а) Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, необходимо основание оставить прежним, а показатели степеней сложить. Это правило выражается формулой $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$. Применяя это правило к выражению $a^n \cdot a^n$, получаем:$a^n \cdot a^n = a^{n+n} = a^{2n}$.
Ответ: $a^{2n}$.

б) Сначала представим множитель $a$ в виде степени с показателем 1: $a = a^1$. Затем используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$.$a \cdot a^n = a^1 \cdot a^n = a^{1+n} = a^{n+1}$.
Ответ: $a^{n+1}$.

в) Правило умножения степеней с одинаковым основанием распространяется на любое количество множителей. Нужно сложить все показатели степеней. В выражении $a^{2n} \cdot a^n \cdot a^2$ основание везде 'a', а показатели равны $2n$, $n$ и $2$. Складываем показатели:$a^{2n} \cdot a^n \cdot a^2 = a^{2n+n+2} = a^{3n+2}$.
Ответ: $a^{3n+2}$.

г) Аналогично предыдущему пункту, складываем показатели степеней при умножении. В выражении $a^{n+5} \cdot a^n \cdot a^{3n}$ показатели равны $(n+5)$, $n$ и $3n$.$a^{n+5} \cdot a^n \cdot a^{3n} = a^{(n+5)+n+3n} = a^{n+5+n+3n} = a^{5n+5}$.
Ответ: $a^{5n+5}$.

д) Для того чтобы разделить степени с одинаковым основанием, нужно основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. Это правило выражается формулой $a^m : a^k = a^{m-k}$. Применяя это правило к выражению $a^n : a^3$, получаем:$a^n : a^3 = a^{n-3}$.
Ответ: $a^{n-3}$.

е) Сначала представим делитель $a$ в виде степени с показателем 1: $a = a^1$. Затем используем правило деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^k = a^{m-k}$.$a^{n+4} : a = a^{n+4} : a^1 = a^{(n+4)-1} = a^{n+4-1} = a^{n+3}$.
Ответ: $a^{n+3}$.

ж) Используем правило деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^k = a^{m-k}$. В выражении $a^{2n-5} : a^n$ показатель делимого равен $(2n-5)$, а показатель делителя равен $n$.$a^{2n-5} : a^n = a^{(2n-5)-n} = a^{2n-5-n} = a^{n-5}$.
Ответ: $a^{n-5}$.

з) Дробная черта означает деление. Правило деления степеней с одинаковым основанием также записывается как $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$. Применяем это правило к выражению $\frac{a^{n+7}}{a^n}$.$\frac{a^{n+7}}{a^n} = a^{(n+7)-n} = a^{n+7-n} = a^7$.
Ответ: $a^7$.