Номер 1.72, страница 15 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.72*. Докажите, что значение выражения:

а) $10^{14} + 2$ делится на 3;

б) $10^{18} + 10^{11} + 10^7$ делится на 3;

в) $10^{17} + 8$ делится на 9;

г) $10^{25} - 1$ делится на 9.

а)

Чтобы доказать, что значение выражения делится на 3, воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Число $10^{14}$ — это 1 с 14 нулями. Тогда выражение $10^{14} + 2$ представляет собой число $100...02$, где между цифрами 1 и 2 находится 13 нулей.

Сумма цифр этого числа равна: $1 + \underbrace{0 + 0 + ... + 0}_{13 \text{ нулей}} + 2 = 3$.

Так как сумма цифр (3) делится на 3, то и само число $10^{14} + 2$ делится на 3.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Воспользуемся признаком делимости на 3. Число, являющееся значением выражения $10^{18} + 10^{11} + 10^7$, в своей десятичной записи будет состоять из трех цифр 1 (на 19-й, 12-й и 8-й позициях, если считать справа) и нулей на остальных позициях.

Сумма цифр этого числа равна: $1 + 1 + 1 = 3$.

Поскольку сумма цифр (3) делится на 3, то и само число $10^{18} + 10^{11} + 10^7$ делится на 3.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в)

Для доказательства применим признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Число $10^{17}$ — это 1 с 17 нулями. Тогда выражение $10^{17} + 8$ представляет собой число $100...08$, где между цифрами 1 и 8 находится 16 нулей.

Сумма цифр этого числа равна: $1 + \underbrace{0 + 0 + ... + 0}_{16 \text{ нулей}} + 8 = 9$.

Так как сумма цифр (9) делится на 9, то и само число $10^{17} + 8$ делится на 9.

Ответ: Что и требовалось доказать.

г)

Воспользуемся признаком делимости на 9. Число $10^{25}$ — это 1 с 25 нулями. При вычитании единицы из этого числа получается число, состоящее из 25 девяток: $\underbrace{99...9}_{25 \text{ раз}}$.

Найдем сумму цифр этого числа: $\underbrace{9 + 9 + ... + 9}_{25 \text{ раз}} = 9 \times 25 = 225$.

Проверим, делится ли 225 на 9. Сумма цифр числа 225 равна $2 + 2 + 5 = 9$.

Поскольку 9 делится на 9, то и число 225 делится на 9. Следовательно, исходное число $10^{25} - 1$, сумма цифр которого равна 225, также делится на 9.

Ответ: Что и требовалось доказать.