Номер 1.44, страница 11 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.44. Найдите значение выражения:

а) $(5^3)^7 : (5^5)^4$

б) $3^{16} \cdot (3^2)^3 : (3^{10})^2$

в) $2^{10} \cdot (2^3)^5 : (2 \cdot (2^5)^4)$

г) $(10^{11} \cdot (10^2)^8) : (10^5 \cdot 10^6)^2$

а) $(5^3)^7 : (5^5)^4$

Для решения воспользуемся свойствами степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, а при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются $a^m : a^n = a^{m-n}$.

1. Сначала упростим каждое выражение, возведя степень в степень:

$(5^3)^7 = 5^{3 \cdot 7} = 5^{21}$

$(5^5)^4 = 5^{5 \cdot 4} = 5^{20}$

2. Теперь выполним деление полученных степеней:

$5^{21} : 5^{20} = 5^{21-20} = 5^1 = 5$

Ответ: 5

б) $3^{16} \cdot (3^2)^3 : (3^{10})^2$

Применяем свойства степеней: умножение степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, возведение степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и деление степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$.

1. Упростим выражения, содержащие возведение степени в степень:

$(3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6$

$(3^{10})^2 = 3^{10 \cdot 2} = 3^{20}$

2. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$3^{16} \cdot 3^6 : 3^{20}$

3. Выполним действия по порядку (умножение, затем деление):

$3^{16} \cdot 3^6 = 3^{16+6} = 3^{22}$

$3^{22} : 3^{20} = 3^{22-20} = 3^2 = 9$

Ответ: 9

в) $2^{10} \cdot (2^3)^5 : (2 \cdot (2^5)^4)$

Упростим делимое (выражение до знака деления) и делитель (выражение в скобках после знака деления) по отдельности.

1. Упростим делимое $2^{10} \cdot (2^3)^5$:

$(2^3)^5 = 2^{3 \cdot 5} = 2^{15}$

$2^{10} \cdot 2^{15} = 2^{10+15} = 2^{25}$

2. Упростим делитель $(2 \cdot (2^5)^4)$:

$(2^5)^4 = 2^{5 \cdot 4} = 2^{20}$

$2 \cdot 2^{20} = 2^1 \cdot 2^{20} = 2^{1+20} = 2^{21}$

3. Выполним деление полученных результатов:

$2^{25} : 2^{21} = 2^{25-21} = 2^4 = 16$

Ответ: 16

г) $(10^{11} \cdot (10^2)^8) : (10^5 \cdot 10^6)^2$

Так же, как и в предыдущем примере, упростим выражения в каждой из скобок.

1. Упростим выражение в первой скобке (делимое):

$(10^2)^8 = 10^{2 \cdot 8} = 10^{16}$

$10^{11} \cdot 10^{16} = 10^{11+16} = 10^{27}$

2. Упростим выражение во второй скобке (делитель). Сначала выполним умножение внутри скобки:

$10^5 \cdot 10^6 = 10^{5+6} = 10^{11}$

Затем возведем результат в степень:

$(10^{11})^2 = 10^{11 \cdot 2} = 10^{22}$

3. Выполним деление:

$10^{27} : 10^{22} = 10^{27-22} = 10^5 = 100000$

Ответ: 100000