Номер 1.39, страница 11 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.39. Замените * таким выражением, чтобы верным было равенство:

a) $(*)^2 = 36a^2b^4;$

б) $(*)^3 = 27x^3y^9;$

в) $(*)^4 = 0,0001a^{12};$

г) $(*)^5 = -\frac{1}{32}c^{10}d^{35}.$

а)

Исходное равенство: $(*)^2 = 36a^2b^4$.

Чтобы найти выражение, обозначенное звёздочкой, нужно извлечь квадратный корень из правой части равенства. При извлечении корня четной степени (в данном случае, второй) из выражения возможны два решения, которые отличаются знаком.

$* = \pm\sqrt{36a^2b^4} = \pm\sqrt{6^2 \cdot a^2 \cdot (b^2)^2} = \pm(6 \cdot a \cdot b^2) = \pm 6ab^2$.

Проверка: $(\pm 6ab^2)^2 = (\pm 6)^2 \cdot a^2 \cdot (b^2)^2 = 36a^2b^4$.

Ответ: $6ab^2$ или $-6ab^2$.

б)

Исходное равенство: $(*)^3 = 27x^3y^9$.

Чтобы найти искомое выражение, нужно извлечь кубический корень из правой части. Корень нечетной степени (в данном случае, третьей) определяется однозначно.

$* = \sqrt[3]{27x^3y^9} = \sqrt[3]{3^3 \cdot x^3 \cdot (y^3)^3} = 3xy^3$.

Проверка: $(3xy^3)^3 = 3^3 \cdot x^3 \cdot (y^3)^3 = 27x^3y^9$.

Ответ: $3xy^3$.

в)

Исходное равенство: $(*)^4 = 0{,}0001a^{12}$.

Чтобы найти выражение, обозначенное звёздочкой, нужно извлечь корень четвертой степени из правой части равенства. Запишем десятичную дробь в виде степени: $0{,}0001 = (0{,}1)^4$. Так как степень четная, возможны два решения.

$* = \pm\sqrt[4]{0{,}0001a^{12}} = \pm\sqrt[4]{(0{,}1)^4 \cdot (a^3)^4} = \pm(0{,}1 \cdot a^3) = \pm 0{,}1a^3$.

Проверка: $(\pm 0{,}1a^3)^4 = (\pm 0{,}1)^4 \cdot (a^3)^4 = 0{,}0001a^{12}$.

Ответ: $0{,}1a^3$ или $-0{,}1a^3$.

г)

Исходное равенство: $(*)^5 = -\frac{1}{32}c^{10}d^{35}$.

Чтобы найти искомое выражение, нужно извлечь корень пятой степени из правой части. Корень нечетной степени из отрицательного числа существует, и он является отрицательным числом.

$* = \sqrt[5]{-\frac{1}{32}c^{10}d^{35}} = \sqrt[5]{(-\frac{1}{2})^5 \cdot (c^2)^5 \cdot (d^7)^5} = -\frac{1}{2}c^2d^7$.

Проверка: $(-\frac{1}{2}c^2d^7)^5 = (-\frac{1}{2})^5 \cdot (c^2)^5 \cdot (d^7)^5 = -\frac{1}{32}c^{10}d^{35}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}c^2d^7$.