Номер 1.33, страница 10 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.33. Используйте свойства степени и найдите значение выражения:

а) $5^{15} \cdot 5^7 : 5^{19}$;

б) $\frac{3^9 \cdot 3^{11}}{3^{16}}$;

в) $10^{25} : (10^{12} \cdot 10^7)$;

г) $\frac{2^{18}}{2^5 \cdot 2^7}$;

д) $6^2 \cdot 6 \cdot 6^{17} : (6^7 \cdot 6^{11})$;

е) $\frac{10^9 \cdot 10^7}{10 \cdot 10^5 \cdot 10^4}$.

а) $5^{15} \cdot 5^7 : 5^{19}$
Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней.
1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$5^{15} \cdot 5^7 = 5^{15+7} = 5^{22}$
2. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$5^{22} : 5^{19} = 5^{22-19} = 5^3$
3. Вычислим полученное значение:
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
Ответ: $125$

б) $\frac{3^9 \cdot 3^{11}}{3^{16}}$
1. Сначала упростим числитель дроби, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$3^9 \cdot 3^{11} = 3^{9+11} = 3^{20}$
2. Теперь выражение имеет вид: $\frac{3^{20}}{3^{16}}$. Черта дроби означает деление. Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{3^{20}}{3^{16}} = 3^{20-16} = 3^4$
3. Вычислим полученное значение:
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$
Ответ: $81$

в) $10^{25} : (10^{12} \cdot 10^7)$
1. Сначала выполним действие в скобках. Применим свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$10^{12} \cdot 10^7 = 10^{12+7} = 10^{19}$
2. Теперь выражение выглядит так: $10^{25} : 10^{19}$. Выполним деление, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$10^{25} : 10^{19} = 10^{25-19} = 10^6$
3. Вычислим полученное значение:
$10^6 = 1000000$
Ответ: $1000000$

г) $\frac{2^{18}}{2^5 \cdot 2^7}$
1. Сначала упростим знаменатель, используя свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$2^5 \cdot 2^7 = 2^{5+7} = 2^{12}$
2. Теперь выражение имеет вид: $\frac{2^{18}}{2^{12}}$. Применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{2^{18}}{2^{12}} = 2^{18-12} = 2^6$
3. Вычислим полученное значение:
$2^6 = 64$
Ответ: $64$

д) $6^2 \cdot 6 \cdot 6^{17} : (6^7 \cdot 6^{11})$
Учтем, что $6$ можно представить как $6^1$.
1. Упростим делимое (выражение до знака деления), используя свойство $a^m \cdot a^n \cdot a^k = a^{m+n+k}$.
$6^2 \cdot 6^1 \cdot 6^{17} = 6^{2+1+17} = 6^{20}$
2. Упростим делитель (выражение в скобках):
$6^7 \cdot 6^{11} = 6^{7+11} = 6^{18}$
3. Выражение принимает вид: $6^{20} : 6^{18}$. Выполним деление:
$6^{20-18} = 6^2$
4. Вычислим полученное значение:
$6^2 = 36$
Ответ: $36$

е) $\frac{10^9 \cdot 10^7}{10 \cdot 10^5 \cdot 10^4}$
Учтем, что $10$ можно представить как $10^1$.
1. Упростим числитель дроби:
$10^9 \cdot 10^7 = 10^{9+7} = 10^{16}$
2. Упростим знаменатель дроби:
$10^1 \cdot 10^5 \cdot 10^4 = 10^{1+5+4} = 10^{10}$
3. Теперь выражение выглядит так: $\frac{10^{16}}{10^{10}}$. Выполним деление:
$\frac{10^{16}}{10^{10}} = 10^{16-10} = 10^6$
4. Вычислим полученное значение:
$10^6 = 1000000$
Ответ: $1000000$