Номер 1.30, страница 10 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.30. Замените * такой степенью с основанием $a$, чтобы верным было равенство:

а) $a^{16} : * = a^5;$
б) $* : a^7 = a^4;$
в) $a^{10} : * = a^9;$
г) $* : a^{18} = a.$

Для решения этой задачи мы будем использовать свойство деления степеней с одинаковым основанием, которое гласит: $a^m : a^n = a^{m-n}$. В каждом пункте нам нужно найти такую степень с основанием $a$, чтобы равенство было верным. Обозначим искомую степень как $a^x$.

а) $a^{16} : * = a^5$

Заменим звездочку на $a^x$: $a^{16} : a^x = a^5$.

Применяя правило деления степеней, мы получаем: $a^{16-x} = a^5$.

Так как основания степеней одинаковы, для выполнения равенства их показатели также должны быть равны:

$16 - x = 5$

Отсюда находим $x$:

$x = 16 - 5 = 11$

Таким образом, вместо звездочки должна стоять степень $a^{11}$.

Ответ: $a^{11}$

б) $* : a^7 = a^4$

Заменим звездочку на $a^x$: $a^x : a^7 = a^4$.

В этом случае, по правилу деления степеней, мы имеем: $a^{x-7} = a^4$.

Приравниваем показатели степеней:

$x - 7 = 4$

Решаем уравнение относительно $x$:

$x = 4 + 7 = 11$

Следовательно, искомая степень — это $a^{11}$.

Ответ: $a^{11}$

в) $a^{10} : * = a^9$

Подставим $a^x$ в исходное равенство: $a^{10} : a^x = a^9$.

Используя правило деления, получаем: $a^{10-x} = a^9$.

Приравниваем показатели:

$10 - x = 9$

Находим $x$:

$x = 10 - 9 = 1$

Значит, искомая степень — это $a^1$, что равносильно $a$.

Ответ: $a$

г) $* : a^{18} = a$

Вспомним, что любое число без показателя степени можно представить как это число в первой степени, то есть $a = a^1$. Заменим звездочку на $a^x$:

$a^x : a^{18} = a^1$

Применяя правило деления степеней, получаем: $a^{x-18} = a^1$.

Приравниваем показатели степеней:

$x - 18 = 1$

Находим $x$:

$x = 1 + 18 = 19$

Таким образом, искомая степень — это $a^{19}$.

Ответ: $a^{19}$