Номер 1.29, страница 10 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.29. Вычислите:

а) $(\frac{2}{3})^{7} : (\frac{2}{3})^{3};$

б) $(-\frac{2}{5})^{12} : (-\frac{2}{5})^{9};$

в) $(1\frac{1}{7})^{18} : (1\frac{1}{7})^{16};$

г) $(-1\frac{2}{3})^{11} : (-1\frac{2}{3})^{8}.$

а) Для вычисления данного выражения воспользуемся свойством степени: при делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя ($a^m : a^n = a^{m-n}$).

$(\frac{2}{3})^7 : (\frac{2}{3})^3 = (\frac{2}{3})^{7-3} = (\frac{2}{3})^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}$.

Ответ: $\frac{16}{81}$.

б) Используем то же свойство степеней, что и в предыдущем пункте ($a^m : a^n = a^{m-n}$).

$(-\frac{2}{5})^{12} : (-\frac{2}{5})^9 = (-\frac{2}{5})^{12-9} = (-\frac{2}{5})^3$.

Так как степень нечетная, результат будет отрицательным:

$(-\frac{2}{5})^3 = -(\frac{2^3}{5^3}) = -\frac{8}{125}$.

Ответ: $-\frac{8}{125}$.

в) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$.

Теперь применим свойство деления степеней с одинаковыми основаниями:

$(1\frac{1}{7})^{18} : (1\frac{1}{7})^{16} = (\frac{8}{7})^{18} : (\frac{8}{7})^{16} = (\frac{8}{7})^{18-16} = (\frac{8}{7})^2$.

Вычислим значение выражения:

$(\frac{8}{7})^2 = \frac{8^2}{7^2} = \frac{64}{49}$.

Выделим целую часть:

$\frac{64}{49} = 1\frac{15}{49}$.

Ответ: $1\frac{15}{49}$.

г) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$-1\frac{2}{3} = -(\frac{1 \cdot 3 + 2}{3}) = -\frac{5}{3}$.

Применим свойство деления степеней с одинаковыми основаниями:

$(-1\frac{2}{3})^{11} : (-1\frac{2}{3})^8 = (-\frac{5}{3})^{11} : (-\frac{5}{3})^8 = (-\frac{5}{3})^{11-8} = (-\frac{5}{3})^3$.

Так как степень нечетная, результат будет отрицательным:

$(-\frac{5}{3})^3 = -(\frac{5^3}{3^3}) = -\frac{125}{27}$.

Выделим целую часть:

$-\frac{125}{27} = -4\frac{17}{27}$.

Ответ: $-4\frac{17}{27}$.