Номер 1.35, страница 10 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.35. Вычислите, используя свойства степени:

а) $ \frac{2^{14}}{32 \cdot 64} $;

б) $ \frac{125 \cdot 625}{5^5} $;

В) $ \frac{2^7 \cdot 3^6}{16 \cdot 27} $;

Г) $ \frac{10^9 \cdot 5^7}{625 \cdot 1000} $.

а) Для вычисления значения выражения $\frac{2^{14}}{32 \cdot 64}$ представим числа в знаменателе в виде степеней с основанием 2.

Мы знаем, что $32 = 2^5$ и $64 = 2^6$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{2^{14}}{32 \cdot 64} = \frac{2^{14}}{2^5 \cdot 2^6}$

Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), упростим знаменатель:

$2^5 \cdot 2^6 = 2^{5+6} = 2^{11}$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{2^{14}}{2^{11}}$

Используя свойство деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$), получим окончательный результат:

$2^{14-11} = 2^3 = 8$

Ответ: 8

б) Рассмотрим выражение $\frac{125 \cdot 625}{5^5}$. Представим числа в числителе в виде степеней с основанием 5.

$125 = 5^3$

$625 = 5^4$

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{5^3 \cdot 5^4}{5^5}$

Упростим числитель, используя свойство умножения степеней ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$5^3 \cdot 5^4 = 5^{3+4} = 5^7$

Теперь наша дробь имеет вид:

$\frac{5^7}{5^5}$

Применим свойство деления степеней ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$5^{7-5} = 5^2 = 25$

Ответ: 25

в) Для вычисления выражения $\frac{2^7 \cdot 3^6}{16 \cdot 27}$ представим числа в знаменателе в виде степеней с основаниями 2 и 3.

$16 = 2^4$

$27 = 3^3$

Подставим эти значения в выражение:

$\frac{2^7 \cdot 3^6}{2^4 \cdot 3^3}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство деления степеней:

$\frac{2^7}{2^4} \cdot \frac{3^6}{3^3} = 2^{7-4} \cdot 3^{6-3} = 2^3 \cdot 3^3$

Для вычисления результата воспользуемся свойством степени произведения ($(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$):

$2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216$

Ответ: 216

г) Рассмотрим выражение $\frac{10^9 \cdot 5^7}{625 \cdot 1000}$. Представим числа в знаменателе в виде степеней.

$625 = 5^4$

$1000 = 10^3$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{10^9 \cdot 5^7}{5^4 \cdot 10^3}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{10^9}{10^3} \cdot \frac{5^7}{5^4}$

Применим свойство деления степеней для каждой группы:

$10^{9-3} \cdot 5^{7-4} = 10^6 \cdot 5^3$

Вычислим итоговый результат:

$10^6 \cdot 5^3 = 1\ 000\ 000 \cdot 125 = 125\ 000\ 000$

Ответ: 125 000 000