Номер 1.42, страница 11 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.42. Найдите значение выражения:

а) $25^6 : 5^{11}$;

б) $27^{11} : 3^{31}$;

в) $2^{18} : 32^3$;

г) $100^9 : 1000^5$.

а) Чтобы найти значение выражения $25^6 : 5^{11}$, приведем степени к одному основанию. Число 25 можно представить как степень числа 5: $25 = 5^2$.
Подставим это в исходное выражение:
$25^6 : 5^{11} = (5^2)^6 : 5^{11}$.
Воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(5^2)^6 = 5^{2 \cdot 6} = 5^{12}$.
Теперь выражение выглядит так: $5^{12} : 5^{11}$.
Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$5^{12} : 5^{11} = 5^{12-11} = 5^1 = 5$.
Ответ: 5.

б) Чтобы найти значение выражения $27^{11} : 3^{31}$, приведем степени к основанию 3. Число 27 можно представить как $27 = 3^3$.
Подставим это в выражение:
$27^{11} : 3^{31} = (3^3)^{11} : 3^{31}$.
Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$(3^3)^{11} = 3^{3 \cdot 11} = 3^{33}$.
Выражение принимает вид: $3^{33} : 3^{31}$.
Используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$, получаем:
$3^{33} : 3^{31} = 3^{33-31} = 3^2 = 9$.
Ответ: 9.

в) Чтобы найти значение выражения $2^{18} : 32^3$, приведем степени к основанию 2. Число 32 можно представить как $32 = 2^5$.
Подставим это в выражение:
$2^{18} : (2^5)^3$.
По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^5)^3 = 2^{5 \cdot 3} = 2^{15}$.
Теперь выражение выглядит так: $2^{18} : 2^{15}$.
По свойству деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$2^{18} : 2^{15} = 2^{18-15} = 2^3 = 8$.
Ответ: 8.

г) Чтобы найти значение выражения $100^9 : 1000^5$, приведем оба числа к основанию 10. Мы знаем, что $100 = 10^2$ и $1000 = 10^3$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$100^9 : 1000^5 = (10^2)^9 : (10^3)^5$.
Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к обеим частям выражения:
$(10^2)^9 = 10^{2 \cdot 9} = 10^{18}$.
$(10^3)^5 = 10^{3 \cdot 5} = 10^{15}$.
Выражение принимает вид: $10^{18} : 10^{15}$.
Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$10^{18} : 10^{15} = 10^{18-15} = 10^3 = 1000$.
Ответ: 1000.