Номер 1.43, страница 11 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.43. Используйте свойства степени и представьте в виде степени с основанием a выражение:

а) $ (a^3)^8 \cdot a^5; $

б) $ a \cdot (a^2)^9; $

в) $ (a^7)^3 : a^8; $

г) $ a^{16} : (a^3)^5; $

д) $ (a^7)^2 \cdot (a^3)^8; $

е) $ (a^9)^4 : (a^3)^5; $

ж) $ (a^4 \cdot a)^6 \cdot (a^7)^3; $

з) $ (a^{11} : a)^6 : (a^5 \cdot a)^2. $

а) Чтобы представить выражение $(a^3)^8 \cdot a^5$ в виде степени с основанием $a$, воспользуемся свойствами степеней. Сначала применим правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ к первому множителю.

$(a^3)^8 = a^{3 \cdot 8} = a^{24}$

Теперь исходное выражение принимает вид $a^{24} \cdot a^5$. Далее используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

$a^{24} \cdot a^5 = a^{24+5} = a^{29}$

Ответ: $a^{29}$

б) В выражении $a \cdot (a^2)^9$ сначала упростим множитель в скобках, используя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

$(a^2)^9 = a^{2 \cdot 9} = a^{18}$

Теперь выражение выглядит как $a \cdot a^{18}$. Учитывая, что $a = a^1$, применим правило умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

$a^1 \cdot a^{18} = a^{1+18} = a^{19}$

Ответ: $a^{19}$

в) Для упрощения выражения $(a^7)^3 : a^8$ сначала разберемся с делимым $(a^7)^3$, применив правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

$(a^7)^3 = a^{7 \cdot 3} = a^{21}$

Теперь выполним деление, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $x^m : x^n = x^{m-n}$.

$a^{21} : a^8 = a^{21-8} = a^{13}$

Ответ: $a^{13}$

г) В выражении $a^{16} : (a^3)^5$ сначала упростим делитель $(a^3)^5$, используя правило $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

$(a^3)^5 = a^{3 \cdot 5} = a^{15}$

Далее выполним деление, применив правило $x^m : x^n = x^{m-n}$.

$a^{16} : a^{15} = a^{16-15} = a^1 = a$

Ответ: $a$

д) Выражение $(a^7)^2 \cdot (a^3)^8$ содержит два множителя, каждый из которых является степенью в степени. Упростим каждый из них по правилу $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Первый множитель: $(a^7)^2 = a^{7 \cdot 2} = a^{14}$.

Второй множитель: $(a^3)^8 = a^{3 \cdot 8} = a^{24}$.

Теперь перемножим полученные результаты, используя правило $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

$a^{14} \cdot a^{24} = a^{14+24} = a^{38}$

Ответ: $a^{38}$

е) В выражении $(a^9)^4 : (a^3)^5$ необходимо упростить и делимое, и делитель, используя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Упростим делимое: $(a^9)^4 = a^{9 \cdot 4} = a^{36}$.

Упростим делитель: $(a^3)^5 = a^{3 \cdot 5} = a^{15}$.

Теперь выполним деление, используя правило $x^m : x^n = x^{m-n}$.

$a^{36} : a^{15} = a^{36-15} = a^{21}$

Ответ: $a^{21}$

ж) Для упрощения выражения $(a^4 \cdot a)^6 \cdot (a^7)^3$ сначала выполним действия в скобках. В первых скобках применим правило умножения степеней ($a = a^1$).

$a^4 \cdot a = a^4 \cdot a^1 = a^{4+1} = a^5$

Теперь выражение имеет вид $(a^5)^6 \cdot (a^7)^3$. Упростим каждый множитель по правилу возведения степени в степень.

$(a^5)^6 = a^{5 \cdot 6} = a^{30}$

$(a^7)^3 = a^{7 \cdot 3} = a^{21}$

Наконец, перемножим результаты.

$a^{30} \cdot a^{21} = a^{30+21} = a^{51}$

Ответ: $a^{51}$

з) В выражении $(a^{11} : a)^6 : (a^5 \cdot a)^2$ начнем с упрощения выражений в каждой из скобок. Учтем, что $a = a^1$.

Упростим выражение в первых скобках (делимое), используя правило деления степеней:

$a^{11} : a = a^{11} : a^1 = a^{11-1} = a^{10}$

Упростим выражение во вторых скобках (делитель), используя правило умножения степеней:

$a^5 \cdot a = a^5 \cdot a^1 = a^{5+1} = a^6$

Теперь выражение выглядит как $(a^{10})^6 : (a^6)^2$. Применим правило возведения степени в степень к обеим частям.

$(a^{10})^6 = a^{10 \cdot 6} = a^{60}$

$(a^6)^2 = a^{6 \cdot 2} = a^{12}$

В завершение выполним деление.

$a^{60} : a^{12} = a^{60-12} = a^{48}$

Ответ: $a^{48}$