Номер 1.45, страница 12 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.45. Упростите выражение:

а) $(b^7)^2 \cdot b;$

б) $m \cdot (m^9)^3;$

в) $(k^4)^3 \cdot k^5;$

г) $(y^5)^3 \cdot y^4;$

д) $(a^7)^3 : (a^4)^5;$

е) $(c^{10})^6 : ((c^7)^5 \cdot (c^3)^8).$

а) Чтобы упростить выражение $(b^7)^2 \cdot b$, мы используем два основных свойства степеней. Сначала применим правило возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Для $(b^7)^2$ это будет $b^{7 \cdot 2} = b^{14}$. Теперь выражение выглядит как $b^{14} \cdot b$. Далее используем правило умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Учитывая, что $b$ это $b^1$, получаем: $b^{14} \cdot b^1 = b^{14+1} = b^{15}$.
Ответ: $b^{15}$

б) В выражении $m \cdot (m^9)^3$ сначала упростим часть в скобках, используя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Получаем $(m^9)^3 = m^{9 \cdot 3} = m^{27}$. Теперь выражение принимает вид $m \cdot m^{27}$. Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Так как $m = m^1$, имеем $m^1 \cdot m^{27} = m^{1+27} = m^{28}$.
Ответ: $m^{28}$

в) Для упрощения $(k^4)^3 \cdot k^5$ сначала работаем с первым множителем. По правилу возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем $(k^4)^3 = k^{4 \cdot 3} = k^{12}$. Затем, используя правило умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, умножаем результат на второй множитель: $k^{12} \cdot k^5 = k^{12+5} = k^{17}$.
Ответ: $k^{17}$

г) Упростим выражение $(y^5)^3 \cdot y^4$. Сначала возведем в степень первый множитель по правилу $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$: $(y^5)^3 = y^{5 \cdot 3} = y^{15}$. Затем умножим полученный результат на $y^4$, используя правило $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$: $y^{15} \cdot y^4 = y^{15+4} = y^{19}$.
Ответ: $y^{19}$

д) В выражении $(a^7)^3 : (a^4)^5$ нам нужно упростить делимое и делитель, а затем выполнить деление. Используем правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Делимое: $(a^7)^3 = a^{7 \cdot 3} = a^{21}$. Делитель: $(a^4)^5 = a^{4 \cdot 5} = a^{20}$. Теперь выполним деление, используя правило $x^m : x^n = x^{m-n}$: $a^{21} : a^{20} = a^{21-20} = a^1 = a$.
Ответ: $a$

е) Рассмотрим сложное выражение $(c^{10})^6 : ((c^7)^5 \cdot (c^3)^8)$. Упростим его по частям.
1. Упростим делимое: $(c^{10})^6 = c^{10 \cdot 6} = c^{60}$ по правилу возведения степени в степень.
2. Упростим выражение в скобках (делитель). Сначала возведем в степень каждый множитель:
$(c^7)^5 = c^{7 \cdot 5} = c^{35}$
$(c^3)^8 = c^{3 \cdot 8} = c^{24}$
3. Теперь перемножим результаты в делителе, используя правило умножения степеней: $c^{35} \cdot c^{24} = c^{35+24} = c^{59}$.
4. Наконец, выполним деление делимого на упрощенный делитель по правилу деления степеней $x^m : x^n = x^{m-n}$: $c^{60} : c^{59} = c^{60-59} = c^1 = c$.
Ответ: $c$