Номер 18.8, страница 83 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

18.8. Из линейного уравнения выразите $x$ через $y$ и $y$ через $x$:

а) $4x - 9y = 18;$

б) $\frac{5}{7}x - 0,4y = 2.$

а)

Дано линейное уравнение $4x - 9y = 18$.

1. Выразим x через y.

Сначала изолируем слагаемое с x в левой части уравнения, перенеся слагаемое с y в правую часть с противоположным знаком:

$4x = 18 + 9y$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при x, то есть на 4:

$x = \frac{18 + 9y}{4}$

Также можно записать это в виде $x = \frac{18}{4} + \frac{9}{4}y$, что равно $x = 4,5 + 2,25y$.

2. Выразим y через x.

Вернемся к исходному уравнению $4x - 9y = 18$. Изолируем слагаемое с y:

$-9y = 18 - 4x$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при y, то есть на -9:

$y = \frac{18 - 4x}{-9}$

Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель на -1, что приведет к смене знаков в числителе:

$y = \frac{-(18 - 4x)}{9} = \frac{4x - 18}{9}$

Также можно записать это в виде $y = \frac{4}{9}x - \frac{18}{9}$, что равно $y = \frac{4}{9}x - 2$.

Ответ: $x = \frac{18 + 9y}{4}$; $y = \frac{4x - 18}{9}$.

б)

Дано линейное уравнение $\frac{5}{7}x - 0,4y = 2$.

Для удобства вычислений представим десятичную дробь 0,4 в виде обыкновенной: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Тогда уравнение примет вид: $\frac{5}{7}x - \frac{2}{5}y = 2$.

1. Выразим x через y.

Изолируем слагаемое с x в левой части уравнения:

$\frac{5}{7}x = 2 + \frac{2}{5}y$

Теперь умножим обе части уравнения на число, обратное коэффициенту при x, то есть на $\frac{7}{5}$:

$x = \frac{7}{5} \cdot (2 + \frac{2}{5}y)$

Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $\frac{7}{5}$:

$x = \frac{7}{5} \cdot 2 + \frac{7}{5} \cdot \frac{2}{5}y$

$x = \frac{14}{5} + \frac{14}{25}y$

2. Выразим y через x.

Вернемся к уравнению $\frac{5}{7}x - \frac{2}{5}y = 2$. Изолируем слагаемое с y:

$-\frac{2}{5}y = 2 - \frac{5}{7}x$

Умножим обе части уравнения на число, обратное коэффициенту при y, то есть на $-\frac{5}{2}$:

$y = -\frac{5}{2} \cdot (2 - \frac{5}{7}x)$

Раскроем скобки:

$y = (-\frac{5}{2}) \cdot 2 - (-\frac{5}{2}) \cdot (\frac{5}{7}x)$

$y = -5 + \frac{25}{14}x$

Для более стандартного вида поменяем слагаемые местами:

$y = \frac{25}{14}x - 5$

Ответ: $x = \frac{14}{5} + \frac{14}{25}y$; $y = \frac{25}{14}x - 5$.