Номер 18.18, страница 84 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

18.18*. Для награждения победителей школьной олимпиады приобрели $p$ книг по 3 р. и $q$ фоторамок по 5 р. Вся покупка обошлась в 67 р. Сколько книг было куплено? (Найдите все решения.)

Пусть $p$ — количество купленных книг, а $q$ — количество купленных фоторамок. Согласно условию задачи, стоимость $p$ книг по 3 рубля и $q$ фоторамок по 5 рублей составляет 67 рублей. Это можно записать в виде уравнения:

$3p + 5q = 67$

Поскольку $p$ и $q$ обозначают количество предметов, они должны быть целыми положительными числами (натуральными).

Решение

Для решения этого диофантова уравнения выразим переменную $p$ через $q$:

$3p = 67 - 5q$

$p = \frac{67 - 5q}{3}$

Из этого выражения следует, что $p$ будет натуральным числом только в том случае, если разность $(67 - 5q)$ является положительным числом и делится на 3 нацело.

Условие $p > 0$ означает, что $67 - 5q > 0$, откуда $5q < 67$, то есть $q < 13.4$. Так как $q$ — натуральное число, его возможные значения лежат в диапазоне от 1 до 13.

Теперь будем перебирать возможные значения $q$ и находить соответствующие значения $p$, проверяя делимость на 3:

• При $q = 2$: $67 - 5(2) = 57$. Тогда $p = 57 / 3 = 19$. Это возможное решение.
• При $q = 5$: $67 - 5(5) = 42$. Тогда $p = 42 / 3 = 14$. Это возможное решение.
• При $q = 8$: $67 - 5(8) = 27$. Тогда $p = 27 / 3 = 9$. Это возможное решение.
• При $q = 11$: $67 - 5(11) = 12$. Тогда $p = 12 / 3 = 4$. Это возможное решение.

Другие целые значения $q$ в диапазоне от 1 до 13 не приводят к целому значению $p$, так как для них выражение $(67-5q)$ не будет кратно 3.

Таким образом, мы нашли все возможные решения для количества книг $p$.

Ответ: могло быть куплено 4, 9, 14 или 19 книг.