Номер 18.19, страница 84 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

18.19*. Среди всех решений уравнения $13x - 4y = 11$ найдите пару чисел, в которой первое число меньше половины второго числа на 0,5.

Пусть искомая пара чисел — это $(x, y)$. Согласно условию задачи, эта пара должна удовлетворять двум условиям.

1. Числа $x$ и $y$ являются решением уравнения $13x - 4y = 11$.

2. Первое число ($x$) меньше половины второго числа ($y$) на 0,5. Это можно записать в виде уравнения: $x = \frac{y}{2} - 0,5$.

Таким образом, для нахождения искомой пары чисел необходимо решить систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} 13x - 4y = 11 \\ x = \frac{y}{2} - 0,5 \end{cases} $

Для удобства преобразуем второе уравнение системы. Умножим обе его части на 2:

$2x = y - 1$

Отсюда выразим $y$ через $x$:

$y = 2x + 1$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$13x - 4(2x + 1) = 11$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$13x - 8x - 4 = 11$

$5x - 4 = 11$

$5x = 11 + 4$

$5x = 15$

$x = \frac{15}{5}$

$x = 3$

Мы нашли значение первого числа. Теперь найдем значение второго числа, подставив $x = 3$ в выражение $y = 2x + 1$:

$y = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7$

Следовательно, искомая пара чисел — $(3, 7)$.

Выполним проверку, чтобы убедиться, что найденная пара удовлетворяет обоим условиям задачи.

Проверка первого условия: $13x - 4y = 11$.

Подставляем $x = 3$ и $y = 7$:

$13(3) - 4(7) = 39 - 28 = 11$.

$11 = 11$. Условие выполняется.

Проверка второго условия: первое число меньше половины второго на 0,5 ($x = \frac{y}{2} - 0,5$).

Подставляем $x = 3$ и $y = 7$:

$3 = \frac{7}{2} - 0,5$

$3 = 3,5 - 0,5$

$3 = 3$. Условие выполняется.

Оба условия соблюдены.

Ответ: (3; 7).