Номер 18.20, страница 84 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

18.20*. Укажите точки первой координатной четверти с целыми координатами, принадлежащие прямой $x + 3y = 7$. Дайте ответ, не выполняя построения.

Мы ищем точки с целыми координатами $(x, y)$, которые удовлетворяют уравнению $x + 3y = 7$ и находятся в первой координатной четверти.

Условие нахождения точки в первой координатной четверти означает, что ее координаты должны быть положительными: $x > 0$ и $y > 0$. Поскольку по условию задачи координаты $x$ и $y$ являются целыми числами, эти неравенства равносильны условиям $x \ge 1$ и $y \ge 1$.

Выразим переменную $x$ из уравнения прямой:

$x = 7 - 3y$

Будем подставлять в это уравнение последовательные целые значения $y$, начиная с $y = 1$, и проверять, выполняется ли условие $x \ge 1$.

Если $y = 1$, то $x = 7 - 3 \cdot 1 = 4$. Получаем точку $(4; 1)$. Обе координаты целые и положительные. Эта точка является решением.

Если $y = 2$, то $x = 7 - 3 \cdot 2 = 1$. Получаем точку $(1; 2)$. Обе координаты целые и положительные. Эта точка также является решением.

Если $y = 3$, то $x = 7 - 3 \cdot 3 = -2$. Координата $x$ отрицательна, поэтому точка не принадлежит первой четверти.

При $y > 2$ значение $x$ будет становиться еще меньше (более отрицательным), следовательно, других решений в первой четверти нет.

Таким образом, найдены все точки, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: $(4; 1)$, $(1; 2)$.