Номер 1.15, страница 13 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

а) Сравниваем $-7^8$ и $7^8$.
Выражение $7^8$ является положительным числом, так как основание $7$ положительно. Выражение $-7^8$ — это число, противоположное $7^8$, следовательно, оно отрицательное. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа.
Ответ: $-7^8 < 7^8$.

б) Сравниваем $(-3)^{10}$ и $3^{10}$.
При возведении отрицательного числа в четную степень (показатель $10$ — четное число) результат будет положительным. По свойству степени $(-a)^{2n} = a^{2n}$, где $n$ — натуральное число, имеем $(-3)^{10} = 3^{10}$.
Ответ: $(-3)^{10} = 3^{10}$.

в) Сравниваем $9^4$ и $-9^6$.
Выражение $9^4$ является положительным числом (положительное основание). Выражение $-9^6$ является отрицательным числом. Следовательно, положительное число $9^4$ больше отрицательного $-9^6$.
Ответ: $9^4 > -9^6$.

г) Сравниваем $(-1)^{12}$ и $1$.
При возведении числа $-1$ в четную степень (показатель $12$ — четное число) результат всегда равен $1$. Таким образом, $(-1)^{12} = 1$.
Ответ: $(-1)^{12} = 1$.

д) Сравниваем $(-2)^3$ и $8$.
При возведении отрицательного числа в нечетную степень (показатель $3$ — нечетное число) результат будет отрицательным. $(-2)^3 = -8$. Так как $-8$ — отрицательное число, а $8$ — положительное, то $-8 < 8$.
Ответ: $(-2)^3 < 8$.

е) Сравниваем $(-0,6)^5$ и $0$.
При возведении отрицательного числа ($-0,6$) в нечетную степень (показатель $5$ — нечетное число) результат будет отрицательным. Любое отрицательное число меньше нуля.
Ответ: $(-0,6)^5 < 0$.

Можно ли выполнить сравнение, не выполняя вычислений?

Да, можно. Во всех приведенных примерах для сравнения значений выражений достаточно определить их знаки, используя следующие свойства степени:

• Возведение положительного числа в любую степень дает положительный результат.
• Возведение отрицательного числа в четную степень дает положительный результат.
• Возведение отрицательного числа в нечетную степень дает отрицательный результат.

Таким образом, зная знаки результатов, мы можем легко их сравнить между собой или с нулем, не прибегая к полным вычислениям значений.
Ответ: Да.