Номер 2.126, страница 76 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.126. Если возможно, представьте одночлен $7,8m^7n^5k$ в виде произведения двух одночленов стандартного вида, степень каждого из которых больше 5.

Условие: Если возможно, представьте одночлен $7,8m^7n^5k$ в виде произведения двух одночленов стандартного вида, степень каждого из которых больше 5.

Анализ возможности решения:

Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Степень исходного одночлена $A = 7,8m^7n^5k$ (что то же самое, что и $7,8m^7n^5k^1$) равна: $$ \text{Степень}(A) = 7 + 5 + 1 = 13 $$

Мы ищем два одночлена, назовем их $B$ и $C$, для которых выполняются следующие условия:

1. $A = B \cdot C$
2. Степень одночлена $B$ больше 5.
3. Степень одночлена $C$ больше 5.

При перемножении одночленов их степени складываются. Из первого условия следует: $$ \text{Степень}(A) = \text{Степень}(B) + \text{Степень}(C) $$ $$ 13 = \text{Степень}(B) + \text{Степень}(C) $$

Согласно второму и третьему условиям, степени одночленов $B$ и $C$ должны быть целыми числами, большими 5, то есть $\ge 6$. Проверим, возможно ли это. Если мы возьмем минимально возможные степени, то их сумма будет: $$ 6 + 6 = 12 $$ Поскольку сумма требуемых степеней ($13$) больше, чем $12$, то найти два одночлена с такими степенями (например, 6 и 7) возможно.

Построение примера:

Чтобы представить $A = 7,8m^7n^5k$ в виде произведения $B \cdot C$, нужно распределить числовой коэффициент $7,8$ и показатели степеней переменных $m, n, k$ между двумя одночленами. $$ A = (c_1 m^{x_1} n^{y_1} k^{z_1}) \cdot (c_2 m^{x_2} n^{y_2} k^{z_2}) $$ При этом должны выполняться равенства:

• $c_1 \cdot c_2 = 7,8$
• $x_1 + x_2 = 7$
• $y_1 + y_2 = 5$
• $z_1 + z_2 = 1$
• Степень $B$: $x_1 + y_1 + z_1 > 5$
• Степень $C$: $x_2 + y_2 + z_2 > 5$

Выберем один из возможных вариантов распределения, чтобы степени получились равными 6 и 7.

• Распределим показатели для $m$: $x_1=3, x_2=4$.
• Распределим показатели для $n$: $y_1=2, y_2=3$.
• Распределим показатели для $k$: $z_1=1, z_2=0$.

Теперь проверим степени полученных одночленов:

• Степень первого одночлена: $x_1 + y_1 + z_1 = 3 + 2 + 1 = 6$. Условие $6 > 5$ выполнено.
• Степень второго одночлена: $x_2 + y_2 + z_2 = 4 + 3 + 0 = 7$. Условие $7 > 5$ выполнено.

Осталось распределить коэффициент $7,8$. Например, $c_1 = 2$ и $c_2 = 3,9$.

В результате получаем один из возможных вариантов разложения: $$ (2m^3n^2k) \cdot (3,9m^4n^3) $$ Оба одночлена находятся в стандартном виде, и их степени (6 и 7) больше 5.

Ответ: Да, такое представление возможно. Один из примеров: $7,8m^7n^5k = (2m^3n^2k) \cdot (3,9m^4n^3)$.