Номер 2.133, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.133. Выполните возведение одночлена в степень:

a) $(-3ax^3y^4)^3$;

б) $(-2\frac{1}{3}x^5y^4z^3)^2$.

Определите степень результата.

Чтобы выполнить возведение одночлена в степень, нужно каждый множитель этого одночлена возвести в указанную степень. При этом используется свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$ и свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$. Степенью итогового одночлена является сумма показателей степеней всех его переменных.

а) Возведем в куб одночлен $(-3ax^3y^4)$:

$(-3ax^3y^4)^3 = (-3)^3 \cdot a^3 \cdot (x^3)^3 \cdot (y^4)^3$

Вычислим значение каждого множителя:

• $(-3)^3 = -27$
• $a^3 = a^3$
• $(x^3)^3 = x^{3 \cdot 3} = x^9$
• $(y^4)^3 = y^{4 \cdot 3} = y^{12}$

Результат: $-27a^3x^9y^{12}$.

Определим степень результата, сложив показатели степеней переменных $a, x, y$:

Степень = $3 + 9 + 12 = 24$.

Ответ: $-27a^3x^9y^{12}$; степень результата равна 24.

б) Возведем в квадрат одночлен $(-2\frac{1}{3}x^5y^4z^3)$.

Для начала, представим смешанное число $-2\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби:

$-2\frac{1}{3} = -\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{7}{3}$.

Теперь возведем в квадрат одночлен $(-\frac{7}{3}x^5y^4z^3)$:

$(-\frac{7}{3}x^5y^4z^3)^2 = (-\frac{7}{3})^2 \cdot (x^5)^2 \cdot (y^4)^2 \cdot (z^3)^2$

Вычислим значение каждого множителя:

• $(-\frac{7}{3})^2 = \frac{49}{9}$
• $(x^5)^2 = x^{5 \cdot 2} = x^{10}$
• $(y^4)^2 = y^{4 \cdot 2} = y^8$
• $(z^3)^2 = z^{3 \cdot 2} = z^6$

Получаем: $\frac{49}{9}x^{10}y^8z^6$.

Выделим целую часть в коэффициенте:

$\frac{49}{9} = \mathbf{5}\frac{4}{9}$.

Результат: $5\frac{4}{9}x^{10}y^8z^6$.

Определим степень результата, сложив показатели степеней переменных $x, y, z$:

Степень = $10 + 8 + 6 = 24$.

Ответ: $5\frac{4}{9}x^{10}y^8z^6$; степень результата равна 24.