Номер 2.132, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.132. Представьте в виде квадрата одночлена выражение:

а) $x^2 y^6$;

б) $36m^{12} n^8 k^4$;

в) $\frac{1}{9} a^2 b^8$.

а) Чтобы представить выражение $x^2y^6$ в виде квадрата одночлена, необходимо найти такой одночлен, который при возведении в квадрат даст исходное выражение. Для этого нужно извлечь квадратный корень из каждого множителя в выражении.

При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$. Следовательно, чтобы найти основание степени для нашего одночлена, нужно показатель степени исходной переменной разделить на 2.

Для переменной $x$: показатель степени 2, значит в искомом одночлене будет $x^{2/2} = x^1 = x$.

Для переменной $y$: показатель степени 6, значит в искомом одночлене будет $y^{6/2} = y^3$.

Соединив результаты, получаем одночлен $xy^3$. Таким образом, исходное выражение можно представить в виде квадрата этого одночлена.

Проверим результат: $(xy^3)^2 = x^2 \cdot (y^3)^2 = x^2y^{3 \cdot 2} = x^2y^6$.

Ответ: $(xy^3)^2$.

б) Представим выражение $36m^{12}n^8k^4$ в виде квадрата одночлена. Для этого извлечем квадратный корень из числового коэффициента и разделим показатели степеней каждой переменной на 2.

Квадратный корень из числового коэффициента $36$ равен $6$, так как $6^2 = 36$.

Для переменной $m$: $m^{12/2} = m^6$.

Для переменной $n$: $n^{8/2} = n^4$.

Для переменной $k$: $k^{4/2} = k^2$.

Объединяя все части, получаем одночлен $6m^6n^4k^2$.

Проверим результат: $(6m^6n^4k^2)^2 = 6^2 \cdot (m^6)^2 \cdot (n^4)^2 \cdot (k^2)^2 = 36m^{12}n^8k^4$.

Ответ: $(6m^6n^4k^2)^2$.

в) Представим выражение $\frac{1}{9}a^2b^8$ в виде квадрата одночлена. Аналогично предыдущим пунктам, извлекаем квадратный корень из коэффициента и делим показатели степеней на 2.

Квадратный корень из числового коэффициента $\frac{1}{9}$ равен $\frac{1}{3}$, так как $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Для переменной $a$: $a^{2/2} = a^1 = a$.

Для переменной $b$: $b^{8/2} = b^4$.

Таким образом, искомый одночлен - это $\frac{1}{3}ab^4$.

Проверим результат: $(\frac{1}{3}ab^4)^2 = (\frac{1}{3})^2 \cdot a^2 \cdot (b^4)^2 = \frac{1}{9}a^2b^8$.

Ответ: $(\frac{1}{3}ab^4)^2$.