Номер 2.179, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.179. Найдите значение выражения:

a) $5^{n-1} : 5^{n+2}$

б) $3^{4n+1} \cdot 3^{3-4n}$

в) $2^{5n-3} \cdot 2^{7n+4} \cdot 2^{12n-1}$

а) $5^{n-1} : 5^{n+2}$

Для решения данного примера воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$. В этом случае основание $a=5$, показатель делимого $m = n-1$, а показатель делителя $n = n+2$.

Вычтем из показателя первой степени показатель второй:

$$5^{(n-1) - (n+2)} = 5^{n-1-n-2} = 5^{-3}$$

Теперь воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$.

$$5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$$

Ответ: $\frac{1}{125}$.

б) $3^{4n+1} \cdot 3^{3-4n}$

Для решения этого примера воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Здесь основание $a=3$, а показатели степеней — $(4n+1)$ и $(3-4n)$.

Сложим показатели степеней:

$$3^{(4n+1) + (3-4n)} = 3^{4n+1+3-4n}$$

Сгруппируем и упростим слагаемые в показателе:

$$3^{(4n-4n) + (1+3)} = 3^{0+4} = 3^4$$

Вычислим значение $3^4$:

$$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$$

Ответ: $81$.

в) $2^{5n-3} \cdot 2^{7n+4} : 2^{12n-1}$

В этом выражении используются операции умножения и деления степеней с одинаковым основанием $a=2$. Применим последовательно свойства $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^k = a^{m-k}$.

Сначала выполним умножение:

$$2^{5n-3} \cdot 2^{7n+4} = 2^{(5n-3) + (7n+4)} = 2^{5n-3+7n+4} = 2^{12n+1}$$

Теперь выполним деление полученного результата на $2^{12n-1}$:

$$2^{12n+1} : 2^{12n-1} = 2^{(12n+1) - (12n-1)} = 2^{12n+1-12n+1} = 2^2$$

Можно также объединить все действия с показателями в один шаг:

$$2^{(5n-3) + (7n+4) - (12n-1)} = 2^{5n-3+7n+4-12n+1} = 2^{(5n+7n-12n) + (-3+4+1)} = 2^{0 \cdot n + 2} = 2^2$$

Вычислим итоговое значение:

$$2^2 = 4$$

Ответ: $4$.