Номер 2.180, страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.180. Представьте двумя способами многочлен:

а) $3a^4 - 4a^3 + 5a^2 + a$ в виде суммы многочленов стандартного вида;

б) $-8a^3b^2 + 6a^2b^2 - a^2b + 5b^3$ в виде разности многочленов стандартного вида.

а) Представьте двумя способами многочлен $3a^4 - 4a^3 + 5a^2 + a$ в виде суммы многочленов стандартного вида;

Чтобы представить данный многочлен в виде суммы двух многочленов стандартного вида, мы можем сгруппировать его члены. Так как существует множество способов группировки, то и решений существует множество. Главное, чтобы каждый из многочленов-слагаемых был в стандартном виде, то есть все его члены были расположены в порядке убывания степеней.

Способ 1:
Сгруппируем члены с четными степенями и с нечетными степенями отдельно. $$(3a^4 + 5a^2) + (-4a^3 + a)$$ Проверим: $3a^4 + 5a^2 - 4a^3 + a = 3a^4 - 4a^3 + 5a^2 + a$.
Оба многочлена $(3a^4 + 5a^2)$ и $(-4a^3 + a)$ имеют стандартный вид.

Способ 2:
Сгруппируем первые два члена и последние два члена исходного многочлена. $$(3a^4 - 4a^3) + (5a^2 + a)$$ Проверим: $3a^4 - 4a^3 + 5a^2 + a$.
Оба многочлена $(3a^4 - 4a^3)$ и $(5a^2 + a)$ имеют стандартный вид.

Ответ: $(3a^4 + 5a^2) + (-4a^3 + a)$ и $(3a^4 - 4a^3) + (5a^2 + a)$.

б) Представьте двумя способами многочлен $-8a^3b^2 + 6a^2b^2 - a^2b + 5b^3$ в виде разности многочленов стандартного вида.

Чтобы представить многочлен $P$ в виде разности многочленов $P_1 - P_2$, можно представить $P$ в виде суммы двух многочленов $A$ и $B$ ($P = A + B$), а затем записать это как разность $P = A - (-B)$. Многочлены $P_1 = A$ и $P_2 = -B$ должны быть стандартного вида.

Способ 1:
Сгруппируем первые два члена и последние два: $$(-8a^3b^2 + 6a^2b^2) + (-a^2b + 5b^3)$$ Теперь представим это в виде разности: $$(-8a^3b^2 + 6a^2b^2) - (a^2b - 5b^3)$$ Здесь уменьшаемое $P_1 = -8a^3b^2 + 6a^2b^2$ и вычитаемое $P_2 = a^2b - 5b^3$ являются многочленами стандартного вида.

Способ 2:
Сгруппируем члены иначе, например, первый с последним и второй с третьим: $$(-8a^3b^2 + 5b^3) + (6a^2b^2 - a^2b)$$ Представим в виде разности: $$(-8a^3b^2 + 5b^3) - (-6a^2b^2 + a^2b)$$ Здесь уменьшаемое $P_1 = -8a^3b^2 + 5b^3$ и вычитаемое $P_2 = -6a^2b^2 + a^2b$ также являются многочленами стандартного вида.

Ответ: $(-8a^3b^2 + 6a^2b^2) - (a^2b - 5b^3)$ и $(-8a^3b^2 + 5b^3) - (-6a^2b^2 + a^2b)$.