Номер 2.219, страница 97 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.219. Докажите, что значение выражения $10000^{n-1} \cdot 0.01^{n-3} : 100^n$ не зависит от значения переменной.

Для того чтобы доказать, что значение данного выражения не зависит от переменной $n$, необходимо упростить его и показать, что переменная $n$ сокращается.

Запишем исходное выражение:

$10000^{n-1} \cdot 0,01^{n-3} : 100^n$

Первым шагом приведем все основания степеней к одному числу. В данном случае удобно использовать число 10:

• $10000 = 10^4$
• $0,01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$
• $100 = 10^2$

Теперь подставим эти представления в исходное выражение:

$(10^4)^{n-1} \cdot (10^{-2})^{n-3} : (10^2)^n$

Далее воспользуемся свойством степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^k = a^{m \cdot k}$).

$10^{4(n-1)} \cdot 10^{-2(n-3)} : 10^{2n}$

Раскроем скобки в показателях степеней:

$10^{4n-4} \cdot 10^{-2n+6} : 10^{2n}$

Теперь воспользуемся свойствами умножения и деления степеней с одинаковым основанием: при умножении показатели складываются ($a^m \cdot a^k = a^{m+k}$), а при делении — вычитаются ($a^m : a^k = a^{m-k}$).

$10^{(4n-4) + (-2n+6) - 2n}$

Упростим выражение в показателе степени, сгруппировав слагаемые с переменной $n$ и свободные члены:

$10^{(4n - 2n - 2n) + (-4 + 6)} = 10^{0 \cdot n + 2} = 10^2$

Вычислим результат:

$10^2 = 100$

В результате упрощений мы получили константу 100. Так как итоговый результат не содержит переменную $n$, мы доказали, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной.

Ответ: 100