Номер 2.245, страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.245*. Докажите, что значение выражения $6(9x^3 + 2) - 2(1 - 3x + 9x^2)(3x + 1)$ не зависит от значения переменной.

Чтобы доказать, что значение данного выражения не зависит от переменной $x$, нам нужно его упростить. Если в результате упрощения все члены, содержащие $x$, сократятся и останется только числовое значение (константа), то утверждение будет доказано.

Упростим выражение по частям.

1. Сначала раскроем первую скобку: $6(9x^3 + 2) = 6 \cdot 9x^3 + 6 \cdot 2 = 54x^3 + 12$.

2. Теперь рассмотрим вторую часть выражения: $-2(1 - 3x + 9x^2)(3x + 1)$. Обратим внимание на произведение в скобках: $(1 - 3x + 9x^2)(3x + 1)$. Переставим слагаемые и множители для удобства: $(3x + 1)(9x^2 - 3x + 1)$. Это выражение является формулой сокращенного умножения "сумма кубов": $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$. В нашем случае $a = 3x$ и $b = 1$. Применяя формулу, получаем: $(3x + 1)(9x^2 - 3x + 1) = (3x)^3 + 1^3 = 27x^3 + 1$.

3. Подставим полученные результаты в исходное выражение: $(54x^3 + 12) - 2(27x^3 + 1)$.

4. Теперь раскроем оставшиеся скобки, умножив $-2$ на каждый член в них: $54x^3 + 12 - 2 \cdot 27x^3 - 2 \cdot 1 = 54x^3 + 12 - 54x^3 - 2$.

5. Приведем подобные слагаемые: $(54x^3 - 54x^3) + (12 - 2) = 0 + 10 = 10$.

В результате всех преобразований мы получили число 10. Так как итоговое значение является константой и не содержит переменную $x$, мы доказали, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной.

Ответ: 10.