Номер 2.246, страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.246* При каком значении $a$ значение выражения $(x-a)(x+8)-(x+4)(x-1)$ не зависит от $x$?

Чтобы значение выражения не зависело от переменной $x$, необходимо, чтобы после упрощения данного выражения все члены, содержащие переменную $x$, взаимно уничтожились. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

1. Раскроем скобки в каждом произведении многочленов:

$(x-a)(x+8) = x \cdot x + 8 \cdot x - a \cdot x - a \cdot 8 = x^2 + 8x - ax - 8a$

$(x+4)(x-1) = x \cdot x - 1 \cdot x + 4 \cdot x - 4 \cdot 1 = x^2 + 3x - 4$

2. Подставим раскрытые выражения обратно в исходное:

$(x^2 + 8x - ax - 8a) - (x^2 + 3x - 4)$

3. Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные:

$x^2 + 8x - ax - 8a - x^2 - 3x + 4$

4. Сгруппируем и приведем подобные члены:

$(x^2 - x^2) + (8x - 3x - ax) + (4 - 8a)$

Упрощаем дальше:

$0 + (5 - a)x + (4 - 8a)$

В результате упрощения мы получили выражение $(5 - a)x + 4 - 8a$.

5. Чтобы это выражение не зависело от $x$, коэффициент при $x$ должен быть равен нулю. Коэффициент при $x$ в нашем случае равен $(5-a)$.

Приравняем его к нулю и решим уравнение относительно $a$:

$5 - a = 0$

$a = 5$

При $a=5$ выражение примет вид: $(5-5)x + 4 - 8 \cdot 5 = 0 \cdot x + 4 - 40 = -36$. Полученное значение $-36$ является константой и не зависит от $x$.

Ответ: 5