Номер 2.247, страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

Докажите, что при любом натуральном значении переменной значение выражения $(n - 2)(n + 15) - (n + 5)(n - 6)$ кратно 14.
Для доказательства данного утверждения необходимо упростить исходное алгебраическое выражение.

Шаг 1: Раскрытие скобок
Сначала раскроем каждую пару скобок, перемножая многочлены:
Первое произведение: $(n - 2)(n + 15) = n \cdot n + n \cdot 15 - 2 \cdot n - 2 \cdot 15 = n^2 + 15n - 2n - 30 = n^2 + 13n - 30$.
Второе произведение: $(n + 5)(n - 6) = n \cdot n + n \cdot (-6) + 5 \cdot n + 5 \cdot (-6) = n^2 - 6n + 5n - 30 = n^2 - n - 30$.

Шаг 2: Упрощение выражения
Теперь подставим раскрытые многочлены в исходное выражение и выполним вычитание:
$(n^2 + 13n - 30) - (n^2 - n - 30)$
Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные, и приведем подобные слагаемые:
$n^2 + 13n - 30 - n^2 + n + 30 = (n^2 - n^2) + (13n + n) + (-30 + 30) = 14n$.

Шаг 3: Анализ результата и вывод
В результате упрощения мы получили выражение $14n$.
По условию задачи, $n$ — это любое натуральное число ($n \in \mathbb{N}$, то есть $n = 1, 2, 3, \dots$).
Произведение числа 14 на любое натуральное число $n$ по определению кратно 14. Это доказывает, что исходное выражение делится на 14 без остатка при любом натуральном $n$.
Частное от деления нашего выражения на 14 равно $\frac{14n}{14} = n$. Число $n$ можно представить в виде неправильной дроби $\frac{n}{1}$ (при $n \ge 1$).

Ответ: целая часть частного $\frac{n}{1}$ равна n.