Номер 2.248, страница 102 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.248*. Даны четыре последовательных натуральных числа. Докажите, что произведение крайних чисел меньше произведения средних на 2.

Пусть даны четыре последовательных натуральных числа. Обозначим первое из них как $n$, где $n$ — любое натуральное число ($n \ge 1$).

Тогда эти четыре числа можно представить в виде последовательности: $n, n+1, n+2, n+3$.

В данной последовательности "крайними" числами являются первое и последнее: $n$ и $n+3$. "Средними" числами являются второе и третье: $n+1$ и $n+2$.

Согласно условию задачи, нам нужно доказать, что произведение крайних чисел меньше произведения средних на 2. Запишем это в виде математического выражения: $$ (n+1)(n+2) - n(n+3) = 2 $$

1. Найдем произведение крайних чисел: $$ P_{крайних} = n \cdot (n+3) = n^2 + 3n $$

2. Найдем произведение средних чисел: $$ P_{средних} = (n+1) \cdot (n+2) $$ Раскроем скобки: $$ P_{средних} = n^2 + 2n + n + 2 = n^2 + 3n + 2 $$

3. Сравним полученные произведения. Для этого найдем разность между произведением средних и произведением крайних чисел: $$ P_{средних} - P_{крайних} = (n^2 + 3n + 2) - (n^2 + 3n) $$ $$ P_{средних} - P_{крайних} = n^2 + 3n + 2 - n^2 - 3n = 2 $$

Разность произведений всегда равна 2, независимо от начального натурального числа $n$. Это доказывает, что произведение средних чисел всегда на 2 больше, чем произведение крайних чисел.

Ответ: Утверждение доказано. Разница между произведением средних и произведением крайних чисел для любой последовательности из четырех натуральных чисел всегда равна 2.