Номер 2.259, страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.259. Решите уравнение $x^2(3 - x) - (2 - x^2)(x + 1) - 4x^2 = 15$, выполнив тождественные преобразования в его левой части.

Решение уравнения $x^2(3 - x) - (2 - x^2)(x + 1) - 4x^2 = 15$

Для решения данного уравнения необходимо выполнить тождественные преобразования в его левой части, то есть упростить выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Последовательно раскроем скобки в каждом члене левой части уравнения:

Первый член: $x^2(3 - x) = x^2 \cdot 3 - x^2 \cdot x = 3x^2 - x^3$

Второй член (сначала перемножим скобки, затем учтем знак "минус" перед ними):
$(2 - x^2)(x + 1) = 2 \cdot x + 2 \cdot 1 - x^2 \cdot x - x^2 \cdot 1 = 2x + 2 - x^3 - x^2$
Теперь учтем знак "минус": $-(2x + 2 - x^3 - x^2) = -2x - 2 + x^3 + x^2$

Запишем левую часть уравнения с раскрытыми скобками:

$$3x^2 - x^3 - 2x - 2 + x^3 + x^2 - 4x^2$$

Сгруппируем и сложим слагаемые с одинаковыми степенями переменной $x$:

$$(-x^3 + x^3) + (3x^2 + x^2 - 4x^2) - 2x - 2$$

Выполним вычисления в каждой группе:

• $-x^3 + x^3 = 0$
• $3x^2 + x^2 - 4x^2 = 4x^2 - 4x^2 = 0$

После приведения подобных слагаемых левая часть уравнения принимает вид:

$$-2x - 2$$

Теперь исходное уравнение можно записать в упрощенном виде:

$$-2x - 2 = 15$$

Перенесем число -2 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$$-2x = 15 + 2$$

$$-2x = 17$$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -2:

$$x = \frac{17}{-2} = -\frac{17}{2}$$

Для финального ответа преобразуем неправильную дробь в смешанное число, выделив целую часть:

$$-\frac{17}{2} = -8\frac{1}{2}$$

Ответ: $x = -8\frac{1}{2}$