Номер 2.262, страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.262* Докажите, что при любом натуральном значении переменной значение выражения $ (n - 1)(n + 12) - (n - 3)(n + 4) $ кратно 10.

Докажите, что при любом натуральном значении переменной значение выражения $(n-1)(n+12) - (n-3)(n+4)$ кратно 10.
Для того чтобы доказать это утверждение, необходимо упростить данное выражение.

1. Сначала раскроем скобки в первом произведении, используя правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого):
$(n-1)(n+12) = n \cdot n + n \cdot 12 - 1 \cdot n - 1 \cdot 12 = n^2 + 12n - n - 12$
Приведя подобные слагаемые, получаем:
$n^2 + 11n - 12$

2. Аналогично раскроем скобки во втором произведении:
$(n-3)(n+4) = n \cdot n + n \cdot 4 - 3 \cdot n - 3 \cdot 4 = n^2 + 4n - 3n - 12$
Приведя подобные слагаемые, получаем:
$n^2 + n - 12$

3. Теперь подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание:
$(n^2 + 11n - 12) - (n^2 + n - 12)$
Раскроем скобки, изменив знаки второго многочлена на противоположные:
$n^2 + 11n - 12 - n^2 - n + 12$

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(n^2 - n^2) + (11n - n) + (-12 + 12) = 0 + 10n + 0 = 10n$

В результате упрощения мы получили выражение $10n$. По условию, переменная $n$ является любым натуральным числом (то есть $n \in \{1, 2, 3, \ldots\}$). Произведение $10n$ всегда будет делиться на 10 без остатка, так как 10 является одним из его множителей. Это доказывает, что исходное выражение кратно 10 при любом натуральном $n$.

Ответ: Утверждение доказано, так как значение выражения тождественно равно $10n$, которое по определению кратно 10 для любого натурального $n$.