Номер 2.264, страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.264. Найдите значение выражения:

а) $25^{-4} \cdot 5^8$;

б) $9^{-6} : 3^{-13}$.

а) $25^{-4} \cdot 5^{8}$

Чтобы найти значение выражения, приведем степени к одному основанию. Заметим, что основание 25 можно представить как степень числа 5: $25 = 5^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$25^{-4} \cdot 5^{8} = (5^2)^{-4} \cdot 5^{8}$

Теперь воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(5^2)^{-4} = 5^{2 \cdot (-4)} = 5^{-8}$

Выражение принимает вид:

$5^{-8} \cdot 5^{8}$

Далее применим правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$5^{-8} \cdot 5^{8} = 5^{-8 + 8} = 5^0$

Любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице: $a^0 = 1$.

$5^0 = 1$

Ответ: 1

б) $9^{-6} : 3^{-13}$

Аналогично предыдущему пункту, приведем степени к общему основанию 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$.

Подставим это в выражение:

$9^{-6} : 3^{-13} = (3^2)^{-6} : 3^{-13}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(3^2)^{-6} = 3^{2 \cdot (-6)} = 3^{-12}$

Теперь выражение выглядит так:

$3^{-12} : 3^{-13}$

Воспользуемся правилом деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$3^{-12} : 3^{-13} = 3^{-12 - (-13)} = 3^{-12 + 13} = 3^1$

Вычисляем значение:

$3^1 = 3$

Ответ: 3