Номер 2.269, страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.269. Из пунктов A и B, расстояние между которыми равно 20 км, навстречу друг другу одновременно вышел пешеход и выехал велосипедист. Скорость велосипедиста в 4 раза больше скорости пешехода. Они встретились через некоторое время после начала движения. Сколько километров осталось идти пешеходу после встречи до пункта B?

яблони

вишни $70^\circ$

алыча $38^\circ$

сливы $106^\circ$

груши $20^\circ$

Рис. 7

Для решения данной задачи проанализируем движение пешехода и велосипедиста.

1. Определение переменных и соотношений.

• Пусть скорость пешехода равна $v_{п}$ км/ч.
• По условию, скорость велосипедиста в 4 раза больше, следовательно, его скорость равна $v_{в} = 4 \cdot v_{п}$ км/ч.
• Общее расстояние между пунктами А и В составляет $S = 20$ км.
• Пешеход и велосипедист движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_{п} + v_{в} = v_{п} + 4v_{п} = 5v_{п}$.
• Пусть $t$ - время, через которое они встретились.

2. Нахождение пройденного пешеходом расстояния.

За время $t$ до встречи пешеход пройдет расстояние $S_{п} = v_{п} \cdot t$. Велосипедист за это же время проедет расстояние $S_{в} = v_{в} \cdot t = 4v_{п} \cdot t$.

Сумма расстояний, которые они преодолели до встречи, равна общему расстоянию между пунктами A и B:

$S_{п} + S_{в} = 20$

Подставим выражения для расстояний:

$v_{п} \cdot t + 4v_{п} \cdot t = 20$

Сложим слагаемые в левой части:

$5 \cdot (v_{п} \cdot t) = 20$

Выражение $v_{п} \cdot t$ представляет собой расстояние $S_{п}$, которое прошел пешеход. Найдем его:

$S_{п} = \frac{20}{5} = 4$ км.

3. Нахождение оставшегося расстояния.

Вопрос задачи — сколько километров осталось идти пешеходу после встречи до пункта В. Пешеход начал движение из пункта А и прошел 4 км до места встречи. Оставшийся путь до пункта В равен разнице между общим расстоянием и расстоянием, которое пешеход уже прошел.

$S_{ост} = S - S_{п} = 20 - 4 = 16$ км.

Этот же результат можно получить, вычислив расстояние, которое проехал велосипедист от пункта В до места встречи: $S_{в} = 4 \cdot S_{п} = 4 \cdot 4 = 16$ км. Именно это расстояние и осталось пройти пешеходу.

Ответ: 16 км.