Номер 2.258, страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.258. Докажите, что значение выражения

$(n - 2)(n - 3) - (n + 4)(n - 5) + 2(2n - 1)$ не зависит от значения переменной.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $n$, необходимо упростить его. Если в результате упрощения все слагаемые, содержащие переменную $n$, сократятся и останется только числовое значение (константа), то утверждение будет доказано.

Запишем исходное выражение:

$(n-2)(n-3) - (n+4)(n-5) + 2(2n-1)$

Выполним преобразования по шагам:

1. Раскроем первую пару скобок, умножив многочлен на многочлен:

$(n-2)(n-3) = n \cdot n + n \cdot (-3) - 2 \cdot n - 2 \cdot (-3) = n^2 - 3n - 2n + 6 = n^2 - 5n + 6$

2. Раскроем вторую пару скобок:

$(n+4)(n-5) = n \cdot n + n \cdot (-5) + 4 \cdot n + 4 \cdot (-5) = n^2 - 5n + 4n - 20 = n^2 - n - 20$

3. Раскроем третью часть выражения, используя распределительный закон:

$2(2n-1) = 2 \cdot 2n - 2 \cdot 1 = 4n - 2$

4. Теперь подставим полученные результаты обратно в исходное выражение:

$(n^2 - 5n + 6) - (n^2 - n - 20) + (4n - 2)$

5. Раскроем скобки. Обратим внимание, что знак "минус" перед второй скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:

$n^2 - 5n + 6 - n^2 + n + 20 + 4n - 2$

6. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(n^2 - n^2) + (-5n + n + 4n) + (6 + 20 - 2)$

7. Выполним вычисления в каждой группе:

• Для членов с $n^2$: $n^2 - n^2 = 0$
• Для членов с $n$: $-5n + n + 4n = -4n + 4n = 0$
• Для констант: $6 + 20 - 2 = 26 - 2 = 24$

Сложим полученные результаты:

$0 + 0 + 24 = 24$

В результате всех преобразований мы получили число 24. Так как итоговое значение является константой и не содержит переменную $n$, мы доказали, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной.

Ответ: 24.