Номер 2.316, страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.316*. Докажите, что выражение $4x^2 - 4x + 3$ принимает только положительные значения.

Требуется доказать, что выражение $4x^2 - 4x + 3$ принимает только положительные значения при любом действительном значении $x$.

Для доказательства можно использовать несколько методов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Выделение полного квадрата

Преобразуем исходное выражение, выделив в нем полный квадрат. Формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем выражении $4x^2 - 4x + 3$:

• $a^2$ соответствует $4x^2$, значит $a = 2x$.
• $-2ab$ соответствует $-4x$. Подставляя $a=2x$, получаем $-2 \cdot (2x) \cdot b = -4x$, откуда $b=1$.
• $b^2$ соответственно равно $1^2 = 1$.

Чтобы собрать полный квадрат $(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$, представим свободный член $3$ в виде $1 + 2$:

$4x^2 - 4x + 3 = (4x^2 - 4x + 1) + 2$

Теперь заменим выражение в скобках на квадрат разности:

$(2x - 1)^2 + 2$

Проанализируем полученное выражение:

1. Выражение $(2x - 1)^2$ — это квадрат действительного числа, который всегда неотрицателен, т.е. $(2x - 1)^2 \geq 0$ для любого $x$.
2. Минимальное значение этого квадрата равно 0.
3. Следовательно, минимальное значение всего выражения $(2x - 1)^2 + 2$ равно $0 + 2 = 2$.

Поскольку наименьшее значение выражения равно 2, а $2 > 0$, то выражение $4x^2 - 4x + 3$ всегда положительно.

Способ 2: Анализ свойств квадратичной функции

Рассмотрим выражение как квадратичную функцию $y(x) = 4x^2 - 4x + 3$. Графиком этой функции является парабола.

Коэффициенты трехчлена: $a = 4$, $b = -4$, $c = 3$.

1. Старший коэффициент $a = 4 > 0$. Это означает, что ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем дискриминант $D$ квадратного трехчлена:
   $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 16 - 48 = -32$.

Так как дискриминант $D = -32 < 0$, уравнение $4x^2 - 4x + 3 = 0$ не имеет действительных корней. Это значит, что график функции (парабола) не пересекает и не касается оси абсцисс (оси Ox).

Парабола, ветви которой направлены вверх и которая не имеет точек пересечения с осью Ox, полностью расположена выше этой оси. Следовательно, все значения функции $y(x)$ являются положительными.

Оба способа доказывают, что исходное выражение принимает только положительные значения.

Ответ: Утверждение доказано. Выражение $4x^2 - 4x + 3$ можно преобразовать к виду $(2x-1)^2+2$. Так как $(2x-1)^2 \ge 0$ для любого $x$, то наименьшее значение всего выражения равно 2, что является положительным числом. Следовательно, выражение всегда принимает положительные значения.