Номер 2.320, страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.320. Сравните значения выражений $a^{-1} - b^{-1}$ и $(a-b)^{-1}$ при $a=0,6, b=1,2.$

Чтобы сравнить значения выражений, необходимо вычислить каждое из них при заданных значениях $a=0,6$ и $b=1,2$. Для удобства вычислений преобразуем десятичные дроби в обыкновенные:

$a = 0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$b = 1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

$a^{-1}-b^{-1}$

Подставим значения $a$ и $b$ в первое выражение и воспользуемся свойством степени $x^{-1} = \frac{1}{x}$:

$a^{-1}-b^{-1} = (\frac{3}{5})^{-1} - (\frac{6}{5})^{-1} = \frac{5}{3} - \frac{5}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю (6) и выполним вычитание:

$\frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{5}{6} = \frac{10}{6} - \frac{5}{6} = \frac{10-5}{6} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$.

$(a-b)^{-1}$

Сначала вычислим значение выражения в скобках:

$a-b = 0,6 - 1,2 = -0,6 = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$

Теперь возведем полученный результат в степень -1:

$(a-b)^{-1} = (-\frac{3}{5})^{-1} = -\frac{5}{3}$

Так как полученная дробь является неправильной, выделим из нее целую часть:

$-\frac{5}{3} = -(\frac{3+2}{3}) = -(1\frac{2}{3}) = -1\frac{2}{3}$

Ответ: $-1\frac{2}{3}$.

Сравнение

Сравним полученные значения: $\frac{5}{6}$ и $-1\frac{2}{3}$.

Так как $\frac{5}{6}$ — положительное число, а $-1\frac{2}{3}$ — отрицательное, то $\frac{5}{6} > -1\frac{2}{3}$.

Следовательно, при заданных значениях $a$ и $b$ верно неравенство:

$a^{-1}-b^{-1} > (a-b)^{-1}$