Номер 2.314, страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.314. Представьте трехчлен двумя способами в виде квадрата двучлена:

а) $9x^2 + 1 - 6x$;

б) $-10ab^2 + a^2 + 25b^4$.

Для решения этой задачи мы будем использовать формулы сокращенного умножения, а именно формулу квадрата разности:

$ (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 $

Также мы воспользуемся свойством, что квадраты противоположных выражений равны:

$ (A - B)^2 = (-(B - A))^2 = (B - A)^2 $

Это свойство и позволит нам представить каждый трехчлен в виде квадрата двучлена двумя способами.

а) Рассмотрим трехчлен $9x^2 + 1 - 6x$.

1. Переставим члены трехчлена, чтобы он соответствовал стандартному виду формулы $A^2 - 2AB + B^2$:
$9x^2 - 6x + 1$

2. Определим, какие выражения могут быть $A$ и $B$:

• $A^2 = 9x^2 \implies A = 3x$
• $B^2 = 1 \implies B = 1$

3. Проверим, равен ли средний член $-2AB$:
$-2AB = -2 \cdot (3x) \cdot 1 = -6x$.
Это совпадает со средним членом нашего трехчлена.

4. Следовательно, данный трехчлен является полным квадратом разности и его можно представить как $(3x - 1)^2$. Это первый способ.

5. Используя свойство $(A - B)^2 = (B - A)^2$, получаем второй способ: $(1 - 3x)^2$.

Ответ: $(3x - 1)^2$ и $(1 - 3x)^2$.

б) Рассмотрим трехчлен $-10ab^2 + a^2 + 25b^4$.

1. Переставим члены трехчлена для приведения к стандартному виду:
$a^2 - 10ab^2 + 25b^4$

2. Определим $A$ и $B$:

• $A^2 = a^2 \implies A = a$
• $B^2 = 25b^4 = (5b^2)^2 \implies B = 5b^2$

3. Проверим средний член $-2AB$:
$-2AB = -2 \cdot a \cdot (5b^2) = -10ab^2$.
Он совпадает со средним членом нашего трехчлена.

4. Таким образом, получаем первый способ представления: $(a - 5b^2)^2$.

5. Используя свойство $(A - B)^2 = (B - A)^2$, получаем второй способ: $(5b^2 - a)^2$.

Ответ: $(a - 5b^2)^2$ и $(5b^2 - a)^2$.