Номер 2.310, страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.310. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

а) $x^2 - 10x + 25;$

б) $n^2 + 2n + 1;$

в) $16a^2 + 8ab + b^2;$

г) $m^4 - 18m^2 + 81.$

Для того чтобы представить трехчлен в виде квадрата двучлена, необходимо использовать формулы сокращенного умножения:

• Формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Формула квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Нужно определить, является ли данный трехчлен полным квадратом, и если да, то найти значения $a$ и $b$.

а) $x^2 - 10x + 25$

Этот трехчлен похож на формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Проверим это.

1. Первый член $x^2$ можно представить как $(x)^2$. Значит, $a = x$.
2. Третий член $25$ можно представить как $5^2$. Значит, $b = 5$.
3. Проверим второй (средний) член. По формуле он должен быть равен $-2ab$. Подставим наши значения: $-2 \cdot x \cdot 5 = -10x$. Это совпадает со средним членом исходного выражения.

Следовательно, трехчлен является полным квадратом разности.
$x^2 - 10x + 25 = (x)^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x - 5)^2$.
Ответ: $(x - 5)^2$

б) $n^2 + 2n + 1$

Этот трехчлен похож на формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Проверим это.

1. Первый член $n^2$ можно представить как $(n)^2$. Значит, $a = n$.
2. Третий член $1$ можно представить как $1^2$. Значит, $b = 1$.
3. Проверим средний член. По формуле он должен быть равен $2ab$. Подставим наши значения: $2 \cdot n \cdot 1 = 2n$. Это совпадает со средним членом исходного выражения.

Следовательно, трехчлен является полным квадратом суммы.
$n^2 + 2n + 1 = (n)^2 + 2 \cdot n \cdot 1 + 1^2 = (n + 1)^2$.
Ответ: $(n + 1)^2$

в) $16a^2 + 8ab + b^2$

Этот трехчлен похож на формулу квадрата суммы $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$. (Используем заглавные буквы, чтобы избежать путаницы с переменной $a$ в выражении).

1. Первый член $16a^2$ можно представить как $(4a)^2$. Значит, $A = 4a$.
2. Третий член $b^2$ можно представить как $(b)^2$. Значит, $B = b$.
3. Проверим средний член. По формуле он должен быть равен $2AB$. Подставим наши значения: $2 \cdot (4a) \cdot b = 8ab$. Это совпадает со средним членом исходного выражения.

Следовательно, трехчлен является полным квадратом суммы.
$16a^2 + 8ab + b^2 = (4a)^2 + 2 \cdot (4a) \cdot b + (b)^2 = (4a + b)^2$.
Ответ: $(4a + b)^2$

г) $m^4 - 18m^2 + 81$

Этот трехчлен похож на формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

1. Первый член $m^4$ можно представить как $(m^2)^2$. Значит, $a = m^2$.
2. Третий член $81$ можно представить как $9^2$. Значит, $b = 9$.
3. Проверим средний член. По формуле он должен быть равен $-2ab$. Подставим наши значения: $-2 \cdot m^2 \cdot 9 = -18m^2$. Это совпадает со средним членом исходного выражения.

Следовательно, трехчлен является полным квадратом разности.
$m^4 - 18m^2 + 81 = (m^2)^2 - 2 \cdot m^2 \cdot 9 + 9^2 = (m^2 - 9)^2$.
Ответ: $(m^2 - 9)^2$