Номер 2.309, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.309. Докажите, что значение выражения $ (3x - 1)^2 - 3(x - 1)^2 - 6(x^2 - 1) - 8 $ не зависит от значения переменной.

Доказательство

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, необходимо его упростить. Если в результате упрощения все члены, содержащие переменную $x$, сократятся, то утверждение будет доказано.

Исходное выражение:

$(3x - 1)^2 - 3(x - 1)^2 - 6(x^2 - 1) - 8$

1. Последовательно раскроем скобки. Для первых двух слагаемых применим формулу сокращенного умножения для квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Для третьего слагаемого используем распределительный закон умножения.

$(3x - 1)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 - 6x + 1$

$-3(x - 1)^2 = -3(x^2 - 2x + 1) = -3x^2 + 6x - 3$

$-6(x^2 - 1) = -6x^2 + 6$

2. Теперь подставим раскрытые скобки обратно в исходное выражение:

$(9x^2 - 6x + 1) + (-3x^2 + 6x - 3) + (-6x^2 + 6) - 8$

3. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(9x^2 - 3x^2 - 6x^2) + (-6x + 6x) + (1 - 3 + 6 - 8)$

4. Выполним вычисления в каждой группе:

Слагаемые с $x^2$: $9x^2 - 3x^2 - 6x^2 = (9 - 3 - 6)x^2 = 0 \cdot x^2 = 0$

Слагаемые с $x$: $-6x + 6x = (-6 + 6)x = 0 \cdot x = 0$

Свободные члены (константы): $1 - 3 + 6 - 8 = -2 + 6 - 8 = 4 - 8 = -4$

5. Запишем итоговый результат:

$0 + 0 - 4 = -4$

В результате упрощения выражение свелось к числу -4. Так как итоговое значение является константой и не содержит переменную $x$, это доказывает, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной, что и требовалось доказать.

Ответ: -4