Номер 2.325, страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.325. Используя алгоритм, представьте в виде многочлена произведение суммы и разности двух выражений:

а) $(c + d)(c - d)$;

б) $(x - y)(x + y)$;

в) $(n + 7)(n - 7)$;

г) $(a - 2)(a + 2)$;

д) $(a - b)(b + a)$;

е) $(k + c)(c - k)$;

ж) $(m - 1)(1 + m)$;

з) $(y + 5)(5 - y)$.

Данная задача решается с использованием формулы сокращенного умножения, известной как "разность квадратов". Алгоритм заключается в применении следующей формулы:

$$ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $$

Произведение суммы двух выражений на их разность равно разности квадратов этих выражений. Применим этот алгоритм к каждому из подпунктов.

а) В выражении $(c + d)(c - d)$ в качестве первого выражения выступает $c$, а в качестве второго — $d$. Применяя формулу разности квадратов, получаем:
$(c + d)(c - d) = c^2 - d^2$
Ответ: $c^2 - d^2$

б) Выражение $(x - y)(x + y)$ также является произведением разности и суммы двух выражений: $x$ и $y$. Порядок множителей не влияет на результат.
$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$
Ответ: $x^2 - y^2$

в) В выражении $(n + 7)(n - 7)$ первое выражение — $n$, второе — $7$.
$(n + 7)(n - 7) = n^2 - 7^2 = n^2 - 49$
Ответ: $n^2 - 49$

г) В выражении $(a - 2)(a + 2)$ первое выражение — $a$, второе — $2$.
$(a - 2)(a + 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$
Ответ: $a^2 - 4$

д) В выражении $(a - b)(b + a)$ воспользуемся переместительным свойством сложения: $b + a = a + b$. Тогда выражение примет вид:
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
Ответ: $a^2 - b^2$

е) В выражении $(k + c)(c - k)$ также воспользуемся переместительным свойством сложения в первой скобке: $k + c = c + k$. Выражение принимает вид, удобный для применения формулы:
$(c + k)(c - k) = c^2 - k^2$
Ответ: $c^2 - k^2$

ж) В выражении $(m - 1)(1 + m)$ преобразуем второй множитель: $1 + m = m + 1$.
$(m - 1)(m + 1) = m^2 - 1^2 = m^2 - 1$
Ответ: $m^2 - 1$

з) В выражении $(y + 5)(5 - y)$ преобразуем первый множитель: $y + 5 = 5 + y$.
$(5 + y)(5 - y) = 5^2 - y^2 = 25 - y^2$
Ответ: $25 - y^2$