Номер 2.380, страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.380. Придумайте два примера разложения на множители трехчлена седьмой степени так, чтобы общий множитель являлся одночленом пятой степени с коэффициентом, равным $-3$.

Задача состоит в том, чтобы придумать два примера разложения на множители трехчлена седьмой степени. Основное условие: общий множитель должен быть одночленом пятой степени с коэффициентом, равным -3.

Пусть искомый трехчлен — это $P$. Его степень $deg(P) = 7$.
Общий множитель — это одночлен $M$. Его степень $deg(M) = 5$, а коэффициент равен -3.
При разложении на множители мы получаем $P = M \cdot Q$, где $Q$ — это многочлен, остающийся в скобках.

Чтобы итоговый многочлен $P$ был трехчленом, множитель $Q$ также должен быть трехчленом. Степень итогового многочлена равна сумме степеней множителей: $deg(P) = deg(M) + deg(Q)$.
Подставим известные степени: $7 = 5 + deg(Q)$.
Отсюда следует, что степень многочлена $Q$ должна быть равна 2.

Таким образом, для составления примеров нам нужно выбрать одночлен $M$ (5-й степени с коэффициентом -3), трехчлен $Q$ (2-й степени) и перемножить их.

1. Выберем в качестве общего множителя одночлен с одной переменной: $M = -3x^5$.
2. Выберем произвольный трехчлен второй степени: $Q = 2x^2 - 4x + 1$.
3. Найдем исходный трехчлен $P$, перемножив $M$ и $Q$:
$P = -3x^5 \cdot (2x^2 - 4x + 1) = (-3x^5)(2x^2) + (-3x^5)(-4x) + (-3x^5)(1) = -6x^7 + 12x^6 - 3x^5$.

Полученный многочлен $-6x^7 + 12x^6 - 3x^5$ является трехчленом седьмой степени, и его разложение на множители $-3x^5(2x^2 - 4x + 1)$ удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: $-6x^7 + 12x^6 - 3x^5 = -3x^5(2x^2 - 4x + 1)$.

1. Выберем в качестве общего множителя одночлен с двумя переменными, например $a$ и $b$: $M = -3a^2b^3$. (Степень $2+3=5$, коэффициент -3).
2. Выберем трехчлен второй степени от тех же переменных: $Q = 5a^2 + ab - 3b^2$.
3. Найдем исходный трехчлен $P$, перемножив $M$ и $Q$:
$P = -3a^2b^3 \cdot (5a^2 + ab - 3b^2) = (-3a^2b^3)(5a^2) + (-3a^2b^3)(ab) + (-3a^2b^3)(-3b^2) = -15a^4b^3 - 3a^3b^4 + 9a^2b^5$.

Проверим степень полученного трехчлена. Степени его членов: $4+3=7$, $3+4=7$, $2+5=7$. Старшая степень равна 7. Разложение на множители $-3a^2b^3(5a^2 + ab - 3b^2)$ полностью соответствует условию.

Ответ: $-15a^4b^3 - 3a^3b^4 + 9a^2b^5 = -3a^2b^3(5a^2 + ab - 3b^2)$.