Номер 2.375, страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.375. Представьте в виде произведения многочлен:

а) $6xy + 6yz;$

б) $7ab - 8ac;$

в) $3mn - 9mk;$

г) $5b - 10bc;$

д) $-8xy - 10y;$

е) $8kt - 2t.$

Для того чтобы представить многочлен в виде произведения, необходимо выполнить операцию разложения на множители. В данных примерах мы будем использовать метод вынесения общего множителя за скобки.

Алгоритм этого метода следующий:

1. Найти наибольший общий делитель (НОД) для модулей всех числовых коэффициентов многочлена.
2. Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший показатель степени.
3. Произведение найденного НОД и переменных в наименьших степенях и будет общим множителем.
4. Вынести полученный общий множитель за скобки. Для этого каждый член исходного многочлена делится на общий множитель, и результат записывается в скобках.

а) $6xy + 6yz$
В многочлене $6xy + 6yz$ оба члена имеют общий числовой множитель 6 и общую переменную $y$. Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, — это $6y$.
$6xy + 6yz = 6y \cdot x + 6y \cdot z = 6y(x+z)$
Ответ: $6y(x+z)$

б) $7ab - 8ac$
В многочлене $7ab - 8ac$ числовые коэффициенты 7 и 8 являются взаимно простыми (их НОД равен 1). Общей переменной для обоих членов является $a$. Вынесем $a$ за скобки.
$7ab - 8ac = a \cdot 7b - a \cdot 8c = a(7b - 8c)$
Ответ: $a(7b - 8c)$

в) $3mn - 9mk$
Для многочлена $3mn - 9mk$ находим НОД числовых коэффициентов 3 и 9, который равен 3. Общей переменной является $m$. Таким образом, общий множитель — $3m$.
$3mn - 9mk = 3m \cdot n - 3m \cdot 3k = 3m(n-3k)$
Ответ: $3m(n-3k)$

г) $5b - 10bc$
Для многочлена $5b - 10bc$ НОД коэффициентов 5 и 10 равен 5. Общая переменная — $b$. Выносим за скобки общий множитель $5b$. При делении $5b$ на $5b$ получаем 1.
$5b - 10bc = 5b \cdot 1 - 5b \cdot 2c = 5b(1-2c)$
Ответ: $5b(1-2c)$

д) $-8xy - 10y$
В многочлене $-8xy - 10y$ НОД коэффициентов 8 и 10 равен 2. Общая переменная — $y$. Поскольку оба члена отрицательны, удобно вынести за скобки множитель с отрицательным знаком, то есть $-2y$.
$-8xy - 10y = -2y \cdot 4x + (-2y) \cdot 5 = -2y(4x+5)$
Ответ: $-2y(4x+5)$

е) $8kt - 2t$
Для многочлена $8kt - 2t$ НОД коэффициентов 8 и 2 равен 2. Общая переменная — $t$. Выносим за скобки общий множитель $2t$. При делении второго члена $-2t$ на $2t$ получаем -1.
$8kt - 2t = 2t \cdot 4k - 2t \cdot 1 = 2t(4k-1)$
Ответ: $2t(4k-1)$