Номер 2.370, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

Наибольший общий делитель (НОД) — это самое большое натуральное число, на которое без остатка делятся оба заданных числа. Для нахождения НОД (51, 85) можно использовать два основных метода: разложение на простые множители или алгоритм Евклида.

Метод 1: Разложение на простые множители

1. Разложим число 51 на простые множители. Число 51 нечетное, проверим делимость на 3. Сумма цифр 5 + 1 = 6, так как 6 делится на 3, то и 51 делится на 3.
$51 \div 3 = 17$
Число 17 является простым.
Таким образом, разложение числа 51 на простые множители: $51 = 3 \cdot 17$.

2. Разложим число 85 на простые множители. Число 85 оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5.
$85 \div 5 = 17$
Число 17 является простым.
Таким образом, разложение числа 85 на простые множители: $85 = 5 \cdot 17$.

3. Найдем общие простые множители в разложениях обоих чисел.
Разложение 51: $3 \cdot \underline{17}$
Разложение 85: $5 \cdot \underline{17}$
Общим множителем является число 17.

Произведение общих простых множителей и будет НОД. В данном случае это и есть число 17.

Метод 2: Алгоритм Евклида

Этот метод заключается в последовательном делении с остатком.

1. Делим большее число (85) на меньшее (51):
$85 = 1 \cdot 51 + 34$

2. Теперь делим предыдущий делитель (51) на полученный остаток (34):
$51 = 1 \cdot 34 + 17$

3. Повторяем процедуру: делим предыдущий делитель (34) на новый остаток (17):
$34 = 2 \cdot 17 + 0$

Как только остаток стал равен нулю, последний ненулевой остаток является НОД. В нашем случае это 17.

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: 17