Номер 2.365, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.365*. Представьте в виде многочлена стандартного вида выражение

$3(2-x)^2 - (2x^2+x-5)(x^2-2) + (x^2+4)(4-x^2).$

Для того чтобы представить выражение в виде многочлена стандартного вида, необходимо раскрыть все скобки и привести подобные слагаемые. Будем выполнять действия по шагам.

Исходное выражение: $3(2-x)^2 - (2x^2+x-5)(x^2-2) + (x^2+4)(4-x^2)$

Сначала раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(2-x)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 4 - 4x + x^2$.

Затем умножим полученный многочлен на 3:
$3(4 - 4x + x^2) = 12 - 12x + 3x^2$.

Сначала перемножим многочлены в скобках:
$(2x^2+x-5)(x^2-2) = 2x^2(x^2-2) + x(x^2-2) - 5(x^2-2)$
$= (2x^4 - 4x^2) + (x^3 - 2x) - (5x^2 - 10)$
$= 2x^4 - 4x^2 + x^3 - 2x - 5x^2 + 10$.

Приведем подобные члены:
$= 2x^4 + x^3 - 9x^2 - 2x + 10$.

Теперь раскроем скобки, учитывая знак "минус" перед ними (изменим знаки всех членов на противоположные):
$-(2x^4 + x^3 - 9x^2 - 2x + 10) = -2x^4 - x^3 + 9x^2 + 2x - 10$.

Это выражение соответствует формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, если его записать как $(4+x^2)(4-x^2)$.
Применим формулу, где $a=4$ и $b=x^2$:
$(4+x^2)(4-x^2) = 4^2 - (x^2)^2 = 16 - x^4$.

Теперь сложим результаты, полученные в каждом пункте:
$(12 - 12x + 3x^2) + (-2x^4 - x^3 + 9x^2 + 2x - 10) + (16 - x^4)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые по убыванию степеней:
$(-2x^4 - x^4) + (-x^3) + (3x^2 + 9x^2) + (-12x + 2x) + (12 - 10 + 16)$

Выполним вычисления в каждой группе:
$-3x^4 - x^3 + 12x^2 - 10x + 18$

Ответ: $-3x^4 - x^3 + 12x^2 - 10x + 18$.