Номер 2.359, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.359. Докажите, что значение выражения

$(-2x + 1)(2x + 1) + (2x + 1)^2 - 4(x - 1)$

не зависит от значения переменной.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $x$, необходимо его упростить. Если в результате упрощения переменная $x$ исчезнет и останется только числовое значение (константа), то утверждение будет доказано.

Упростим выражение по частям:

1. Рассмотрим первый член: $(-2x + 1)(2x + 1)$. Его можно переписать как $(1 - 2x)(1 + 2x)$. Это формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=1$ и $b=2x$.
   $(-2x + 1)(2x + 1) = 1^2 - (2x)^2 = 1 - 4x^2$
2. Рассмотрим второй член: $(2x + 1)^2$. Это формула квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=2x$ и $b=1$.
   $(2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$
3. Рассмотрим третий член: $-4(x - 1)$. Раскроем скобки, умножив $-4$ на каждый член в скобках.
   $-4(x - 1) = -4x + 4$

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение и сложим их:

$(1 - 4x^2) + (4x^2 + 4x + 1) + (-4x + 4)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$1 - 4x^2 + 4x^2 + 4x + 1 - 4x + 4$

Сгруппируем подобные члены:

$(-4x^2 + 4x^2) + (4x - 4x) + (1 + 1 + 4) = 0 + 0 + 6 = 6$

В результате всех преобразований мы получили число 6. Поскольку итоговое значение является константой и не содержит переменную $x$, мы доказали, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной.

Ответ: 6