Номер 2.357, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.357. Представьте в виде многочлена выражение:

а) $(x + 3)^2 - (x - 2)(x + 2);$

б) $(m + 4n)(m - 4n) - (m - 4n)^2.$

а) $(x + 3)^2 - (x - 2)(x + 2)$

Для преобразования данного выражения в многочлен необходимо применить формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Разность квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

1. Применим формулу квадрата суммы для выражения $(x + 3)^2$, где $a = x$ и $b = 3$:

$(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

2. Применим формулу разности квадратов для выражения $(x - 2)(x + 2)$, где $a = x$ и $b = 2$:

$(x - 2)(x + 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$

3. Подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 4)$

4. Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак "минус", поэтому знаки всех слагаемых внутри неё меняются на противоположные:

$x^2 + 6x + 9 - x^2 + 4$

5. Приведем подобные слагаемые, то есть сложим или вычтем члены с одинаковой переменной в одинаковой степени:

$(x^2 - x^2) + 6x + (9 + 4) = 0 + 6x + 13 = 6x + 13$

Ответ: $6x + 13$

б) $(m + 4n)(m - 4n) - (m - 4n)^2$

Для преобразования данного выражения в многочлен необходимо применить формулы сокращенного умножения:

• Разность квадратов: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
• Квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

1. Применим формулу разности квадратов для выражения $(m + 4n)(m - 4n)$, где $a = m$ и $b = 4n$:

$(m + 4n)(m - 4n) = m^2 - (4n)^2 = m^2 - 16n^2$

2. Применим формулу квадрата разности для выражения $(m - 4n)^2$, где $a = m$ и $b = 4n$:

$(m - 4n)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 4n + (4n)^2 = m^2 - 8mn + 16n^2$

3. Подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(m^2 - 16n^2) - (m^2 - 8mn + 16n^2)$

4. Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых во второй скобке на противоположные:

$m^2 - 16n^2 - m^2 + 8mn - 16n^2$

5. Приведем подобные слагаемые:

$(m^2 - m^2) + 8mn + (-16n^2 - 16n^2) = 0 + 8mn - 32n^2 = 8mn - 32n^2$

Ответ: $8mn - 32n^2$