Номер 2.377, страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.377. Вынесите общий множитель за скобки:

а) $9x + 12y + 6;$

б) $-15a + 10b - 5;$

в) $mn - mk + m^2;$

г) $6c^2 - 3c + 12bc;$

д) $a^2 - 3a^4 + 5a^6;$

е) $-y^5 - 5y^7 - 2y^4;$

ж) $-2x^4y^3 + x^2y^3 - 4x^2y;$

з) $8m^4n^2 - 12m^2n^3 + 4m^2.$

а) $9x + 12y + 6$

Чтобы вынести общий множитель за скобки, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов каждого слагаемого. В данном случае это НОД для чисел 9, 12 и 6. НОД(9, 12, 6) = 3. Общих переменных у слагаемых нет. Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, это 3.

Разделим каждый член многочлена на 3: $9x \div 3 = 3x$; $12y \div 3 = 4y$; $6 \div 3 = 2$.

$9x + 12y + 6 = 3(3x + 4y + 2)$

Ответ: $3(3x + 4y + 2)$

б) $-15a + 10b - 5$

Найдем НОД для модулей коэффициентов 15, 10 и 5. НОД(15, 10, 5) = 5. Поскольку первый член выражения отрицательный, удобно вынести за скобки отрицательный множитель, то есть -5. При вынесении отрицательного множителя знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные.

Разделим каждый член на -5: $-15a \div (-5) = 3a$; $10b \div (-5) = -2b$; $-5 \div (-5) = 1$.

$-15a + 10b - 5 = -5(3a - 2b + 1)$

Ответ: $-5(3a - 2b + 1)$

в) $mn - mk + m^2$

В этом выражении коэффициенты равны 1, -1 и 1, их НОД равен 1. Однако все члены содержат переменную $m$. Общий множитель - это переменная в наименьшей степени, в которой она входит в каждый член. Здесь это $m^1$ или просто $m$.

Разделим каждый член на $m$: $mn \div m = n$; $-mk \div m = -k$; $m^2 \div m = m$.

$mn - mk + m^2 = m(n - k + m)$

Ответ: $m(n - k + m)$

г) $6c^2 - 3c + 12bc$

Найдем общий множитель для числовых коэффициентов и для переменных. НОД(6, 3, 12) = 3. Общая переменная для всех членов - это $c$. Наименьшая степень переменной $c$ в выражении - первая ($c^1$). Следовательно, общий множитель равен $3c$.

Разделим каждый член на $3c$: $6c^2 \div (3c) = 2c$; $-3c \div (3c) = -1$; $12bc \div (3c) = 4b$.

$6c^2 - 3c + 12bc = 3c(2c - 1 + 4b)$

Ответ: $3c(2c - 1 + 4b)$

д) $a^2 - 3a^4 + 5a^6$

НОД коэффициентов 1, -3, 5 равен 1. Все члены содержат переменную $a$. Наименьшая степень переменной $a$ среди всех членов - это $a^2$. Значит, общий множитель - $a^2$.

Разделим каждый член на $a^2$: $a^2 \div a^2 = 1$; $-3a^4 \div a^2 = -3a^2$; $5a^6 \div a^2 = 5a^4$.

$a^2 - 3a^4 + 5a^6 = a^2(1 - 3a^2 + 5a^4)$

Ответ: $a^2(1 - 3a^2 + 5a^4)$

е) $-y^5 - 5y^7 - 2y^4$

Общая переменная для всех членов - $y$. Наименьшая степень, в которой она встречается, - $y^4$. Поскольку все члены отрицательные, вынесем за скобку $-y^4$.

Разделим каждый член на $-y^4$: $-y^5 \div (-y^4) = y$; $-5y^7 \div (-y^4) = 5y^3$; $-2y^4 \div (-y^4) = 2$.

$-y^5 - 5y^7 - 2y^4 = -y^4(y + 5y^3 + 2)$. Для стандартного вида упорядочим слагаемые в скобках по убыванию степеней.

Ответ: $-y^4(5y^3 + y + 2)$

ж) $-2x^4y^3 + x^2y^3 - 4x^2y$

Найдем общий множитель для переменных. Для $x$ наименьшая степень - $x^2$. Для $y$ наименьшая степень - $y^1$. Таким образом, общий множитель для переменных - $x^2y$. НОД коэффициентов (по модулю) 2, 1, 4 равен 1. Так как первый член отрицательный, вынесем за скобку $-x^2y$.

Разделим каждый член на $-x^2y$: $-2x^4y^3 \div (-x^2y) = 2x^2y^2$; $x^2y^3 \div (-x^2y) = -y^2$; $-4x^2y \div (-x^2y) = 4$.

$-2x^4y^3 + x^2y^3 - 4x^2y = -x^2y(2x^2y^2 - y^2 + 4)$

Ответ: $-x^2y(2x^2y^2 - y^2 + 4)$

з) $8m^4n^2 - 12m^2n^3 + 4m^2$

Находим общий множитель. НОД(8, 12, 4) = 4. Для переменной $m$ наименьшая степень - $m^2$. Переменная $n$ отсутствует в последнем слагаемом ($4m^2$), поэтому ее нельзя вынести за скобку как общий множитель. Таким образом, общий множитель всего выражения - $4m^2$.

Разделим каждый член на $4m^2$: $8m^4n^2 \div (4m^2) = 2m^2n^2$; $-12m^2n^3 \div (4m^2) = -3n^3$; $4m^2 \div (4m^2) = 1$.

$8m^4n^2 - 12m^2n^3 + 4m^2 = 4m^2(2m^2n^2 - 3n^3 + 1)$

Ответ: $4m^2(2m^2n^2 - 3n^3 + 1)$