Номер 2.412, страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.412*. Найдите значение выражения $81x^2 + 4y^2 + 9x - 2y - 36xy + 5$, если $4,5x - y = 1,5$.

1. Преобразование выражения.
Для того чтобы упростить выражение, сгруппируем его члены. Особое внимание уделим слагаемым, содержащим квадраты переменных и их произведение: $$ (81x^2 - 36xy + 4y^2) + (9x - 2y) + 5 $$ Выражение в скобках $81x^2 - 36xy + 4y^2$ очень похоже на формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Проверим, подходит ли она. Пусть $a=9x$ и $b=2y$. Тогда: $$ (9x - 2y)^2 = (9x)^2 - 2 \cdot (9x) \cdot (2y) + (2y)^2 = 81x^2 - 36xy + 4y^2 $$ Это в точности совпадает с выражением в скобках. Следовательно, мы можем переписать исходное выражение следующим образом: $$ (9x - 2y)^2 + (9x - 2y) + 5 $$

2. Использование заданного условия.
Из условия задачи нам известно, что: $$ 4,5x - y = 1,5 $$ В нашем преобразованном выражении используется член $(9x - 2y)$. Мы можем получить его, умножив обе части данного нам равенства на 2: $$ 2 \cdot (4,5x - y) = 2 \cdot 1,5 $$ $$ 9x - 2y = 3 $$

3. Подстановка и вычисление.
Теперь, когда мы знаем значение выражения $(9x - 2y)$, мы можем подставить его в нашу упрощенную формулу: $$ (3)^2 + (3) + 5 $$ Осталось выполнить простые арифметические действия: $$ 9 + 3 + 5 = 17 $$

Ответ: 17