Номер 2.413, страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.413* Докажите, что значение выражения $(n + 4)^2 - n^2$ при натуральных $n$ кратно 8.

Для того чтобы доказать, что выражение $(n + 4)^2 - n^2$ кратно 8 для любого натурального числа $n$, необходимо показать, что его можно представить в виде произведения числа 8 и некоторого целого числа.

Преобразуем данное выражение. Мы можем заметить, что это выражение является разностью квадратов, поэтому для его упрощения воспользуемся формулой сокращенного умножения: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае примем $a = (n + 4)$ и $b = n$. Подставим эти значения в формулу:

$(n + 4)^2 - n^2 = ((n + 4) - n) \cdot ((n + 4) + n)$

Теперь упростим получившиеся выражения в каждой из скобок:

• Упрощаем первую скобку: $(n + 4 - n) = 4$
• Упрощаем вторую скобку: $(n + 4 + n) = 2n + 4$

Таким образом, наше выражение принимает вид:

$4 \cdot (2n + 4)$

Вынесем общий множитель 2 за скобки во втором сомножителе:

$4 \cdot 2(n + 2)$

Перемножив числовые коэффициенты, получаем:

$8(n + 2)$

По условию задачи, $n$ является натуральным числом ($n \in \{1, 2, 3, \dots\}$). Это означает, что сумма $(n + 2)$ также является натуральным (и, следовательно, целым) числом.

Поскольку полученное выражение $8(n + 2)$ представляет собой произведение числа 8 и целого числа $(n+2)$, оно по определению делится на 8 нацело при любом натуральном $n$. Что и требовалось доказать.