Номер 2.414, страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.414*. Докажите, что значение выражения $9^{15} - 3^{28}$ кратно 72.

Чтобы доказать, что значение выражения кратно 72, необходимо показать, что оно делится на 72 без остатка.

Число 72 можно разложить на два взаимно простых множителя: $72 = 8 \times 9$. Если доказать, что выражение делится и на 8, и на 9, то будет доказано, что оно делится и на их произведение, то есть на 72.

Шаг 1: Преобразование выражения.

Приведем степени в выражении к одному основанию 3. Так как $9 = 3^2$, то: $$9^{15} = (3^2)^{15}$$ По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $$(3^2)^{15} = 3^{2 \cdot 15} = 3^{30}$$ Теперь исходное выражение можно записать в виде: $$9^{15} - 3^{28} = 3^{30} - 3^{28}$$

Шаг 2: Разложение на множители.

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $3^{28}$: $$3^{30} - 3^{28} = 3^{28}(3^{30-28} - 1) = 3^{28}(3^2 - 1)$$ Вычислим значение в скобках: $$3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$$ Таким образом, мы получили, что исходное выражение равно: $$3^{28} \cdot 8$$

Шаг 3: Проверка делимости.

• Делимость на 8: Выражение $3^{28} \cdot 8$ содержит множитель 8, следовательно, оно делится на 8.
• Делимость на 9: Проверим, делится ли выражение на 9. Так как $9 = 3^2$, нам нужно показать, что $3^{28} \cdot 8$ делится на $3^2$. Множитель $3^{28}$ можно представить как $3^{26} \cdot 3^2 = 3^{26} \cdot 9$. Следовательно, все выражение $3^{26} \cdot 9 \cdot 8$ делится на 9.

Вывод:

Так как значение выражения $9^{15} - 3^{28}$ делится и на 8, и на 9, и при этом числа 8 и 9 взаимно просты, то оно делится и на их произведение $8 \times 9 = 72$.

Ответ: Доказано, что значение выражения кратно 72.