Номер 2.421, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.421. Используя способ группировки, разложите многочлен на множители:

а) $ac + ad + 3bd + 3bc;$

б) $bk - ck + 5bl - 5cl;$

в) $5ax - bx + by - 5ay;$

г) $mx - 2m - 2a + ax;$

д) $2bx - 3ay - 6by + ax;$

е) $2lx - ny + nx - 2ly.$

Для разложения многочленов на множители используется метод группировки, который состоит из следующих шагов:

1. Объединить члены многочлена в группы так, чтобы у членов в каждой группе был общий множитель.
2. Вынести общий множитель за скобки в каждой группе.
3. Вынести за скобки общий для всех групп множитель (который сам является многочленом).

а) $ac + ad + 3bd + 3bc$
Сгруппируем попарно члены многочлена: $(ac + ad) + (3bc + 3bd)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $a$ из первой и $3b$ из второй.
$a(c + d) + 3b(c + d)$
Теперь у обеих групп есть общий множитель $(c + d)$, который мы также выносим за скобки:
$(a + 3b)(c + d)$
Ответ: $(a + 3b)(c + d)$

б) $bk - ck + 5bl - 5cl$
Сгруппируем члены: $(bk - ck) + (5bl - 5cl)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $k$ из первой и $5l$ из второй.
$k(b - c) + 5l(b - c)$
Вынесем общий множитель $(b - c)$ за скобки:
$(b - c)(k + 5l)$
Ответ: $(b - c)(k + 5l)$

в) $5ax - bx + by - 5ay$
Сгруппируем первый член с четвертым, а второй с третьим: $(5ax - 5ay) + (-bx + by)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $5a$ из первой и $-b$ из второй (при вынесении $-b$ знаки в скобках меняются на противоположные).
$5a(x - y) - b(x - y)$
Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:
$(5a - b)(x - y)$
Ответ: $(5a - b)(x - y)$

г) $mx - 2m - 2a + ax$
Перегруппируем члены для удобства: $(mx - 2m) + (ax - 2a)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $m$ из первой и $a$ из второй.
$m(x - 2) + a(x - 2)$
Вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:
$(m + a)(x - 2)$
Ответ: $(m + a)(x - 2)$

д) $2bx - 3ay - 6by + ax$
Перегруппируем члены, сгруппировав члены с переменной $x$ и члены с переменной $y$: $(2bx + ax) + (-6by - 3ay)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $x$ из первой и $-3y$ из второй.
$x(2b + a) - 3y(2b + a)$
Вынесем общий множитель $(2b + a)$ за скобки:
$(2b + a)(x - 3y)$
Ответ: $(a + 2b)(x - 3y)$

е) $2lx - ny + nx - 2ly$
Перегруппируем члены: $(2lx + nx) + (-2ly - ny)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $x$ из первой и $-y$ из второй.
$x(2l + n) - y(2l + n)$
Вынесем общий множитель $(2l + n)$ за скобки:
$(2l + n)(x - y)$
Ответ: $(2l + n)(x - y)$