Номер 2.405, страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.405. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

a) $36a^2 + 1 + 12a$;

б) $m^4 + 9n^2 - 6m^2n$;

в) $12c^2 d^3 + 4c^4 + 9d^6$.

Для того чтобы представить трехчлен в виде квадрата двучлена, необходимо воспользоваться формулами сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
• Квадрат разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

Наша задача — распознать в данных трехчленах одну из этих структур.

а) $36a^2 + 1 + 12a$

1. Переставим члены многочлена в стандартном порядке (по убыванию степеней переменной $a$):
$36a^2 + 12a + 1$

2. Проверим, можно ли представить первый и последний члены в виде квадратов.
Первый член: $36a^2 = (6a)^2$.
Последний член: $1 = 1^2$.

3. Проверим, равен ли средний член удвоенному произведению оснований этих квадратов.
Удвоенное произведение: $2 \cdot (6a) \cdot 1 = 12a$.

4. Средний член совпадает, и все знаки — плюсы. Следовательно, мы можем применить формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$, где $x=6a$ и $y=1$.
$36a^2 + 12a + 1 = (6a)^2 + 2 \cdot (6a) \cdot 1 + 1^2 = (6a + 1)^2$.

Ответ: $(6a + 1)^2$

б) $m^4 + 9n^2 - 6m^2n$

1. Переставим члены многочлена в стандартном порядке:
$m^4 - 6m^2n + 9n^2$

2. Проверим, можно ли представить первый и последний члены в виде квадратов.
Первый член: $m^4 = (m^2)^2$.
Последний член: $9n^2 = (3n)^2$.

3. Проверим, равен ли средний член удвоенному произведению оснований этих квадратов. Знак "минус" перед средним членом указывает на то, что это может быть квадрат разности.
Удвоенное произведение: $2 \cdot (m^2) \cdot (3n) = 6m^2n$.

4. Средний член $-6m^2n$ совпадает по модулю с удвоенным произведением. Следовательно, применяем формулу квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$, где $x=m^2$ и $y=3n$.
$m^4 - 6m^2n + 9n^2 = (m^2)^2 - 2 \cdot (m^2) \cdot (3n) + (3n)^2 = (m^2 - 3n)^2$.

Ответ: $(m^2 - 3n)^2$

в) $12c^2d^3 + 4c^4 + 9d^6$

1. Переставим члены многочлена в стандартном порядке (например, по убыванию степеней переменной $c$):
$4c^4 + 12c^2d^3 + 9d^6$

2. Проверим, можно ли представить первый и последний члены в виде квадратов.
Первый член: $4c^4 = (2c^2)^2$.
Последний член: $9d^6 = (3d^3)^2$.

3. Проверим, равен ли средний член удвоенному произведению оснований этих квадратов.
Удвоенное произведение: $2 \cdot (2c^2) \cdot (3d^3) = 12c^2d^3$.

4. Средний член совпадает, и все знаки — плюсы. Применяем формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$, где $x=2c^2$ и $y=3d^3$.
$4c^4 + 12c^2d^3 + 9d^6 = (2c^2)^2 + 2 \cdot (2c^2) \cdot (3d^3) + (3d^3)^2 = (2c^2 + 3d^3)^2$.

Ответ: $(2c^2 + 3d^3)^2$